Encontre a solução geral das seguintes equações homogêneas de segunda ordem.
y^{\prime \prime}+25 y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + 25\,y' - 3\,y = 0
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes fornecidas: a equação é homogênea, é de segunda ordem e tem coeficientes constantes. A incógnita é a função y(x).

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y(x)=e^{r x}. Isso porque exponenciais transformam derivadas em múltiplos da própria exponencial, o que reduz a equação diferencial a uma equação algébrica para r. Substituindo y=e^{r x} em y''+25y'-3y=0 obtemos a equação característica
r^{2}+25r-3=0.
Essa é uma equação quadrática em r; resolvê-la nos dá os expoentes das exponenciais que são soluções.

Passo 3

Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula de resolução de quadrática). Para uma equação \,ar^{2}+br+c=0, as raízes são
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=25, c=-3. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 25^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=625+12=637.
Observação útil: 637 = 49\cdot13, então \sqrt{637}=7\sqrt{13}. Assim as raízes ficam
r_{1}=\frac{-25+7\sqrt{13}}{2},\qquad r_{2}=\frac{-25-7\sqrt{13}}{2}.

Passo 4

Interpretação das raízes: \,r_{1} e \,r_{2} são reais e distintas (pois o discriminante é positivo e não nulo). Para cada raiz real distinta r da equação característica, e^{r x} é solução da ODE. Como a ODE é linear e homogênea de segunda ordem, o espaço de soluções tem dimensão 2, então a combinação linear das duas soluções independentes gera toda a solução geral.

Passo 5

Construção da solução geral: combinando as duas soluções exponenciais associadas às raízes r_{1} e r_{2}, a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).

Passo 6

Para dar uma intuição numérica rápida (útil na prova para entender comportamento): \sqrt{13}\approx3,60555, então 7\sqrt{13}\approx25,2389. Assim
r_{1}\approx\frac{-25+25{,}2389}{2}\approx0{,}1194,\qquad r_{2}\approx\frac{-25-25{,}2389}{2}\approx-25{,}1194.
Isso mostra que uma solução cresce muito lentamente (expoente pequeno positivo) e a outra decai rapidamente (expoente grande negativo).

Resposta

y(x)=C_{1}\exp\!\left(\frac{-25+7\sqrt{13}}{2}\,x\right)+C_{2}\exp\!\left(\frac{-25-7\sqrt{13}}{2}\,x\right)

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