Encontre a solução geral das seguintes equações homogêneas de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
.
Informações relevantes fornecidas: a equação é homogênea, é de segunda ordem e tem coeficientes constantes. A incógnita é a função .
Informações relevantes fornecidas: a equação é homogênea, é de segunda ordem e tem coeficientes constantes. A incógnita é a função
Passo 2
Método escolhido (explicação didática): para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Isso porque exponenciais transformam derivadas em múltiplos da própria exponencial, o que reduz a equação diferencial a uma equação algébrica para
. Substituindo
em
obtemos a equação característica
Essa é uma equação quadrática em
; resolvê-la nos dá os expoentes das exponenciais que são soluções.
Passo 3
Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula de resolução de quadrática). Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
Observação útil:
, então
. Assim as raízes ficam
Passo 4
Interpretação das raízes:
e
são reais e distintas (pois o discriminante é positivo e não nulo). Para cada raiz real distinta
da equação característica,
é solução da ODE. Como a ODE é linear e homogênea de segunda ordem, o espaço de soluções tem dimensão 2, então a combinação linear das duas soluções independentes gera toda a solução geral.
Passo 5
Construção da solução geral: combinando as duas soluções exponenciais associadas às raízes
e
, a solução geral é
onde
e
são constantes reais arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).
Passo 6
Para dar uma intuição numérica rápida (útil na prova para entender comportamento):
, então
. Assim
Isso mostra que uma solução cresce muito lentamente (expoente pequeno positivo) e a outra decai rapidamente (expoente grande negativo).