Encontre a solução geral das seguintes de primeira ordem e.d.o. lineares :
y^prime+4x y=2x^3.

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da EDO de primeira ordem linear y'+tfrac4xy=tfrac2x^3. O tópico é EDOs lineares de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante, precisando identificar P(x)=4/x e Q(x)=2/x^3.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a EDO na forma padrão y'+P(x)y=Q(x), ou seja:
y'+4xy=2x^3

Passo 3

Em seguida, calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral 4xdx=e^4ln|x|=x^4

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^4 para obter:
x^4y'+4x^3y=2x

Passo 5

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de x^4y, ou seja:
ddx(x^4y)=2x

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^4y=integral2x,dx=x^2+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y:
y=x^2+Cx^4=x^-2+Cx^-4

Resposta

y(x)=x^-2+Cx^-4, onde C é constante de integração.

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