Inverta a ordem de integração.
integral0^3 a[integralraiz33 x-x^2^raiz4 a x f(x, y) d y] d x(a>0).

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla integral0^3a l[integral(raiz3/3)x - x^2^raiz4ax f(x,y),dyr] dx e pede para inverter a ordem de integração. Isso envolve entender que o conteúdo é integração dupla sobre a região R do plano (x,y) e reescrever as desigualdades que definem R.

Passo 2

A região R é dada por
0 <= x <= 3a, (tfracraiz33x - x^2) <= y <= raiz4ax
Ou seja,
R = (x,y): 0 <= x <= 3a,; (tfracraiz33x - x^2) <= y <= raiz4ax

Passo 3

Da condição y <= raiz4ax tiramos
y <= 2raizax iff x >= y^24a
Portanto, para um dado y, devemos ter
x >= y^24a

Passo 4

Da condição y >= (tfracraiz33x - x^2) escrevemos
x^2 - raiz33x - y <= 0
As raízes da equação x^2 - tfracraiz33x - y = 0 são
x1,2(y) = tfracraiz33 pm raiztfrac13 + 4y2
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a desigualdade vale para
x1(y) <= x <= x2(y),
sendo
x2(y) = tfracraiz33 + raiztfrac13 + 4y2

Passo 5

Para achar o intervalo de y em que existem x válidos, observamos os valores extremos na fronteira de R:
  • O valor máximo de y ocorre em x=3a pela curva y=raiz4ax, isto é ymax=raiz4acdot 3a=2raiz3,a
  • O valor mínimo de y ocorre em x=3a pela curva y=tfracraiz33x - x^2, isto é
    ymin=tfracraiz33,(3a)-(3a)^2=raiz3,a-9a^2
    Portanto
raiz3,a - 9a^2 ;<= y <= 2raiz3,a

Passo 6

Juntando tudo, a ordem invertida fica
integraly=raiz3 a - 9a^2^2raiz3 a integralx=y^24a^tfracraiz33+raiztfrac13+4y2 f(x,y),dx,dy

Resposta

integraly=raiz3 a - 9a^2^2raiz3 a integralx=y^24a^tfracraiz33 + raiztfrac13 + 4y2 f(x,y),dx,dy

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