Inverta a ordem de integração.
integral0^pi4[integral0^tg x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

A gente tem a integral dupla em ordem dx–dy dada por integral0^pi4gl[integral0^tan xf(x,y),dygr]dx. O conteúdo é a troca de ordem de integração sobre a região em que 0<= x<=pi/4 e 0<= y<=tan x.

Passo 2

Vamos descrever a região D no plano (x,y):

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo y. Como y vai de 0 até o valor máximo de tan x quando x=pi/4, temos
0<= y<= tanl(tfracpi4r)=1

Passo 4

Para um y fixo em [0,1], a condição y<= tan x equivale a x>=arctan y. Mantendo x<=pi/4, obtemos
arctan y<= x<= tfracpi4

Passo 5

Portanto, trocando a ordem de integração, a integral fica
integraly=0^1integralx=arctan y^pi4f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^1integralarctan y^pi4f(x,y),dx,dy

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