Encontre a solução geral das seguintes de primeira ordem e.d.o. lineares :
y^prime-2x y=x

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de 1ª ordem na forma y'+P(x)y=Q(x), com P(x)=-tfrac2x e Q(x)=x. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral -tfrac2x,dx=e^-2ln|x|=x^-2
Esse fator permite reescrever o lado esquerdo da equação como derivada de um produto.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-2, obtendo
x^-2y'-2x^-3y=x^-1
O lado esquerdo é exatamente
ddx(x^-2y)

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(x^-2y),dx=integral x^-1,dx
Isso dá
x^-2y=ln|x|+C, onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, isolamos y multiplicando por x^2:
y=x^2l(ln|x|+Cr)=x^2ln|x|+Cx^2

Resposta

y=x^2ln|x|+Cx^2

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