Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
ld xd t=-4 x+2 y d yd t=-52 x+2 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo com coeficientes constantes
dxdt = -4x + 2y, dydt = -tfrac52x + 2y
O conteúdo importante aqui é resolver sistemas do tipo x' = A,x usando autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial x' = Ax, com
A = -4 & 2 [6pt] -tfrac52 & 2
Para encontrar os autovalores lambda, calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det!-4-lambda & 2 [3pt] -tfrac52 & 2-lambda = (-4-lambda)(2-lambda) - 2l(-tfrac52r) ]

Passo 3

Expandindo,
(-4-lambda)(2-lambda) +5 = lambda^2 +2lambda -8 +5 = lambda^2 +2lambda -3
Igualando a zero,
lambda^2 +2lambda -3 = 0 Longrightarrow lambda = -2 pm raiz4 +122 = -2 pm 42,
logo os autovalores são lambda1 = 1 e lambda2 = -3.

Passo 4

Para cada achamos o autovetor resolvendo .
. Para :
Escolhendo , fica .
. Para :
Escolhendo , fica .]

Passo 5

Como temos dois autovalores reais distintos, a solução geral é combinação linear das soluções elementares
x(t) = C1,e^lambda1 t,v1 + C2,e^lambda2 t,v2
Substituindo lambda1=1,v1=(2,5) e lambda2=-3,v2=(2,1), obtemos
x(t)[3pt]y(t) = C1,e^t 25 + C2,e^-3t 21,
once C1 e C2 são constantes arbitrárias.]

Resposta

boxed x(t) = 2C1,e^t + 2C2,e^-3t, y(t) = 5C1,e^t + C2,e^-3t, C1,C2inR

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