Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
ld xd t=2 x+2 y d yd t=x+3 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de coeficientes constantes
dxdt=2x+2y, dydt=x+3y
O conteúdo é sistema de equações diferenciais da forma d Xdt=A X. Para resolver, vamos reescrever no formato matricial e usar o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, definimos
de modo que

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A-lambda I) =det!2-lambda&21&3-lambda =(2-lambda)(3-lambda)-2cdot1 =lambda^2-5lambda+4

Passo 4

Resolvendo lambda^2-5lambda+4=0, temos
lambda=5pmraiz25-162 =5pm32,
ou seja
lambda1=4 e lambda2=1.

Passo 5

Agora achamos os autovetores:
Para , resolvemos
Podemos escolher .
Para , resolvemos
Podemos escolher .

Passo 6

A solução geral é combinação linear das soluções fundamentais
isto é,

Resposta

x(t)=C1e^4t+2C2e^t, y(t)=C1e^4t-C2e^t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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