Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
X^{\prime}=\left( lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
X' = A,X, A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Para resolver, vamos usar a decomposição em autovalores e autovetores: calculamos o polinômio característico de A, achamos seus autovalores e, em seguida, um conjunto de autovetores que diagonalize A. A solução geral é então combinação linear de e^lambda tv.

Passo 2

Calculando o polinômio característico
A - lambda I = 1-lambda & 0 & 1 0 & 1-lambda & 0 1 & 0 & 1-lambda ,
p(lambda)=det(A-lambda I) =(1-lambda)l((1-lambda)^2-0r) -0 +1l(0-(1-lambda)r) =(1-lambda)^3-(1-lambda)
Fatorando,
p(lambda)=(1-lambda)l((1-lambda)^2-1r) =-(1-lambda),lambda,(lambda-2)
Logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=0 e lambda3=2.

Passo 3

Para cada , resolvemos .
Para :
Escolhemos .
Para :
Podemos tomar .
Para :
Podemos tomar .

Passo 4

Como A tem três autovalores distintos, os vetores v1,v2,v3 formam base e
a solução geral é
X(t) = C1e^lambda1tv1 + C2e^lambda2tv2 + C3e^lambda3tv3
Substituindo,
X(t) = C1e^t010 + C2e^0cdot t10-1 + C3e^2t101

Resposta

X(t) = C1e^t010 + C210-1 + C3e^2t101,
com C1,C2,C3inR.

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