Encontre a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneos com coeficientes constantes: X^{\prime}(t)=A X(t), onde X(t) representa um vetor coluna de n coordenadas x_{j}(t) onde n é a ordem da matriz A do sistema. [Lembre que quando existe uma base de autovetores de A e os autovalores são reais, a solução geral pode ser escrita como X(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\ldots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n}, onde os v_{j} são os autovetores associados aos autovalores \lambda_{j}. Quando não existe uma base formada por autovetores de A, estes devem ser completados com autovetores generalizados para gerar as soluções L.I. que faltam].
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right) X(t).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de primeira ordem
X'(t)=A\,X(t),
onde
A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
O método consiste em achar os autovalores \lambda de A, os correspondentes autovetores (aqui complexos) e depois extrair duas soluções reais linearmente independentes a partir das partes real e imaginária.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A resolvendo
\det\bigl(A-\lambda I\bigr)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 \\\\ 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)^2+1=0.
Dessa equação vem
(1-\lambda)^2=-1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=1\pm i.

Passo 3

Escolhemos \lambda=1+i e achamos um autovetor v não nulo tal que (A-(1+i)I)v=0.
Em forma matricial:
\begin{pmatrix}-i & -1 \\[6pt] 1 & -i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; -i\,v_1 - v_2 =0 \;\Longrightarrow\; v_2=-i\,v_1.
Tomando v_1=1, obtemos
v=\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix}.]

Passo 4

A solução complexa associada é
X_c(t)=e^{(1+i)t}\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix} =e^t(\cos t+i\sin t)\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix}.
Multiplicando e separando parte real e imaginária define-se
w(t)=e^{it}\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos t + i\sin t\\[3pt]\sin t - i\cos t\end{pmatrix}.
Logo duas soluções reais linearmente independentes são
X_1(t)=\Re\bigl[e^t\,w(t)\bigr] =e^t\begin{pmatrix}\cos t\\sin t\end{pmatrix}, \quad X_2(t)=\Im\bigl[e^t\,w(t)\bigr] =e^t\begin{pmatrix}\sin t\\\ -\cos t\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como X_1 e X_2 são soluções reais L.I., a solução geral do sistema é
X(t)=C_1\,X_1(t)+C_2\,X_2(t),
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

X(t) = C_1\,e^t\begin{pmatrix}\cos t\\[3pt]\sin t\end{pmatrix} + C_2\,e^t\begin{pmatrix}\sin t\\[3pt]-\cos t\end{pmatrix}.]

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