Encontre a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares homogêneos com coeficientes constantes: X^{\prime}(t)=A X(t), onde X(t) representa um vetor coluna de n coordenadas x_{j}(t) onde n é a ordem da matriz A do sistema. [Lembre que quando existe uma base de autovetores de A e os autovalores são reais, a solução geral pode ser escrita como X(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\ldots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n}, onde os v_{j} são os autovetores associados aos autovalores \lambda_{j}. Quando não existe uma base formada por autovetores de A, estes devem ser completados com autovetores generalizados para gerar as soluções L.I. que faltam]. X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right) X(t).
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de primeira ordem
X'(t)=A\,X(t),
onde
A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
O método consiste em achar os autovalores \lambda de A, os correspondentes autovetores (aqui complexos) e depois extrair duas soluções reais linearmente independentes a partir das partes real e imaginária.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de A resolvendo