Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
ld xd t=x+y-z d yd t=2 y d zd t=y-z

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes
dxdt=x+y-z, dydt=2y, dzdt=y-z,
que podemos escrever em forma matricial dot X = A,X, onde X=(x,y,z)^T e
A = 1 & 1 & -1 0 & 2 & 0 0 & 1 & -1
Para resolver, vamos encontrar os autovalores e autovetores de A e montar a solução geral como combinação linear dos modos próprios.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 1 & -1 0 & 2-lambda & 0 0 & 1 & -1-lambda =-(1-lambda)(2-lambda)(1+lambda)
As raízes são
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=-1

Passo 3

Para cada lambdai resolvemos (A-lambdai I)vi=0:
  1. lambda1=1:
    (A-I)v=0 leva a y=z e y=0, logo y=z=0 e x é livre. Um autovetor é
v1=(1,0,0)^T
  1. lambda2=2:
    (A-2I)v=0 y=3z e y=x+z, levando a x=2z. Tomando z=1,
v2=(2,3,1)^T
  1. lambda3=-1:
    (A+I)v=0 y=0 e z=2x. Tomando x=1,
v3=(1,0,2)^T

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
onde são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

(x,y,z)(t) = C1 e^t(1,0,0)+C2 e^2t(2,3,1)+C3 e^-t(1,0,2)

Exercícios relacionados