Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes
que podemos escrever em forma matricial
dot X = A,X , onde
X=(x,y,z)^T e
Para resolver, vamos encontrar os autovalores e autovetores de
A e montar a solução geral como combinação linear dos modos próprios.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A :
As raízes são
Passo 3
Para cada
lambdai resolvemos
(A-lambdai I)vi=0 :
-
:lambda1=1
leva a(A-I)v=0 ey=z , logoy=0 ey=z=0 é livre. Um autovetor éx
-
:lambda2=2
dá(A-2I)v=0 ey=3z , levando ay=x+z . Tomandox=2z ,z=1
-
:lambda3=-1
dá(A+I)v=0 ey=0 . Tomandoz=2x ,x=1
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
onde
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.