Usando a transformada de Laplace, resolva os PVI’s abaixo
y^prime prime+4 y=t^2+3 e^t, y(0)=1 ; y^prime(0)=2

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI
y'' + 4y = t^2 + 3e^t, y(0)=1,;y'(0)=2
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)
e depois inverter Y(s) por frações parciais.

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados:
Ly''+4 Ly = Lt^2+3 Le^t
l(s^2Y(s)-scdot1-2r)+4Y(s)=2s^3+3s-1
Reagrupando em Y(s):
Y(s),(s^2+4)=2s^3+3s-1+s+2,
Y(s)=s+2s^2+4+2s^3(s^2+4)+3(s-1)(s^2+4)

Passo 3

Separamos Y(s) em três parcelas:
Y1(s)=s+2s^2+4, Y2(s)=2s^3(s^2+4), Y3(s)=3(s-1)(s^2+4)
De início,
L^-1Y1(s) = L^-1lss^2+4r + L^-1l2s^2+4r =cos(2t)+sin(2t)

Passo 4

Para Y2(s)=2s^3(s^2+4) fazemos frações parciais
2s^3(s^2+4) =As+Bs^2+Cs^3+Ds+Es^2+4
Ao determinar A=-tfrac18, B=0, C=tfrac12, D=tfrac18, E=0 e inverter, obtemos
L^-1Y2(s) =-18 +t^24 +18cos(2t)

Passo 5

Para Y3(s)=3(s-1)(s^2+4) fazemos frações parciais
3(s-1)(s^2+4) =As-1+Bs+Cs^2+4,
com A=tfrac35, B=-tfrac35, C=-tfrac35. Invertendo:
L^-1Y3(s) =35e^t-35cos(2t)-310sin(2t)

Passo 6

Somando todas as partes:
y(t) =l[cos(2t)+sin(2t)r] +l[-tfrac18+tfract^24+tfrac18cos(2t)r] +l[tfrac35e^t-tfrac35cos(2t)-tfrac310sin(2t)r]
Agrupando termos semelhantes:
y(t) =2140cos(2t)+710sin(2t) +t^24+35e^t-18

Resposta

y(t)=2140cos(2t)+710sin(2t) +t^24+35e^t-18

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