Resolva o problema de valor inicial.
t^-1 d yd t=2 cos ^2 y, y(0)=pi / 4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
t^-1dydt=2cos^2 y,
com condição inicial y(0)=pi/4.
O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem separável; para resolver, vamos reescrever a equação de modo a poder separar as variáveis y e t.

Passo 2

Observamos que a equação está escrita com t^-1, o que é singular em t=0. Para tneq0 multiplicamos ambos os lados por t e obtemos uma forma regular:
dydt=2,t,cos^2 y
Agora é claro que temos um caso de equação separável.

Passo 3

Separamos as variáveis colocando todos os termos que dependem de y de um lado e os que dependem de t do outro:
1cos^2 y,dy = 2,t,dt
Note que 1cos^2 y=sec^2 y, cuja primitiva é bem conhecida.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral sec^2 y,dy = integral 2,t,dt
No lado esquerdo a primitiva de sec^2 y é tan y; no direito, integral2t,dt=t^2. Logo
tan y = t^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=pi/4. Em t=0 temos
tanl(pi/4r)=1 = 0^2 + C,
logo C=1.

Passo 6

Substituindo C=1 em tan y = t^2 + C, obtemos
tan y = t^2 + 1
Isolando y, chega-se à solução
y(t)=arctanl(t^2+1r)

Resposta

y(t)=arctanl(t^2+1r)

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