Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com condição inicial
.
O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem separável; para resolver, vamos reescrever a equação de modo a poder separar as variáveis e
.
O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem separável; para resolver, vamos reescrever a equação de modo a poder separar as variáveis
Passo 2
Observamos que a equação está escrita com
, o que é singular em
. Para
multiplicamos ambos os lados por
e obtemos uma forma regular:
Agora é claro que temos um caso de equação separável.
Passo 3
Separamos as variáveis colocando todos os termos que dependem de
de um lado e os que dependem de
do outro:
Note que
, cuja primitiva é bem conhecida.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo a primitiva de
é
; no direito,
. Logo
onde
é constante de integração.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Em
temos
logo
.
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos
Isolando
, chega-se à solução