Teste a série quanto à convergência ou à divergência.
sumn=1^infty (-1)^nn^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty (-1)^nn^3/2.
O conteúdo envolvido é séries alternadas (teste de Leibniz) e convergência absoluta (p-série com p>1).

Passo 2

Aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas. Definimos
an = 1n^3/2.
Note que an+1 < an para todo n (é decrescente) e
limntoinfty an = 0.
Pelo teste de Leibniz, a série alternada
sumn=1^infty(-1)^nan converge.

Passo 3

Agora verificamos a convergência absoluta, estudando
sumn=1^inftyl|(-1)^n/n^3/2r| = sumn=1^infty 1n^3/2.
Trata-se de uma p-série com p = tfrac32 > 1.
Sabemos que toda p-série com p>1 converge, logo
sumn=1^infty 1n^3/2 converge.

Passo 4

Como a série converge quando consideramos os termos ao módulo, ela é absolutamente convergente. Convergência absoluta implica convergência simples.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^nn^3/2 converge absolutamente, portanto converge.

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