Teste a série quanto à convergência ou à divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série .
O conteúdo envolvido é séries alternadas (teste de Leibniz) e convergência absoluta (p-série com ).
Passo 2
Aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas. Definimos .
Note que para todo (é decrescente) e .
Pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.
Passo 3
Agora verificamos a convergência absoluta, estudando .
Trata-se de uma p-série com p = tfrac32 > 1.
Sabemos que toda p-série com p>1 converge, logo sumn=1^infty 1n^3/2 converge.
Passo 4
Como a série converge quando consideramos os termos ao módulo, ela é absolutamente convergente. Convergência absoluta implica convergência simples.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^nn^3/2 converge absolutamente, portanto converge.