Encontre a solução geral (ou seja, todas as soluções) de
(a) y^prime=e^3 x-x.
(b) x y^prime=1.

Passo 1

O exercício pede a solução geral de duas EDOs de primeira ordem: (a) y'=e^3x-x e (b) x y'=1. Vamos usar integração direta, ou seja, lembrar que y'=dydx e integrar cada lado em relação a x.

Passo 2

Para a parte (a), escrevemos y'=e^3x-x como
y(x)=integrall(e^3x-xr),dx + C
Agora calculamos as integrais:
integral e^3x,dx=13e^3x, integral x,dx=x^22

Passo 3

Substituindo:
y(x)=13e^3x-x^22+C

Passo 4

Para a parte (b), isolamos y':
x,y'=1implies y'=1x, xneq0
Integramos:
y(x)=integral1x,dx + C=ln|x|+C

Resposta

Para (a) y(x)=tfrac13e^3x-tfracx^22+C. Para (b) y(x)=ln|x|+C.

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