Um móvel de massa
, cuja posição é denotada por
, sofre uma força proporcional ao quadrado do tempo. Se tivermos
e
, encontre explicitamente
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um móvel com massa
, cuja posição no tempo é dada por
. Esse móvel está sofrendo uma força que cresce proporcionalmente ao quadrado do tempo, ou seja, a força depende de
. Queremos encontrar a posição
para qualquer tempo
, sabendo que no instante inicial temos
e a velocidade inicial
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente as leis de Newton e equações diferenciais. Precisaremos entender como a força afeta a aceleração do móvel e, a partir daí, determinar sua posição ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Onde:
-
é a força, -
é a massa, -
é a aceleração.
No nosso caso, a massa
, então a equação fica:
Ou seja,
Passo 3
Sabemos que a força é proporcional ao quadrado do tempo, então podemos escrever:
Como não foi dado um valor específico para a constante de proporcionalidade
, mas como a massa
, podemos simplificar e considerar
, ficando:
Passo 4
Agora, como
, temos:
A aceleração
é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja:
Então, temos a equação diferencial:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos resolver essa equação diferencial. Vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade, e depois integrar a velocidade para encontrar a posição.
Primeira integração:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar
. Sabemos que
, então:
Portanto, a expressão para a velocidade é:
Passo 7
Vamos integrar novamente para encontrar a posição
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 8
Usamos a condição inicial da posição para encontrar
. Sabemos que
, então:
Portanto, a expressão para a posição é:
Resposta
A posição do móvel para
é dada por: