Um móvel de massa m=1, cuja posição é denotada por x(t), sofre uma força proporcional ao quadrado do tempo. Se tivermos x(0)=x0 e dotx(0)=v0, encontre explicitamente x(t) para t>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um móvel com massa m = 1, cuja posição no tempo é dada por x(t). Esse móvel está sofrendo uma força que cresce proporcionalmente ao quadrado do tempo, ou seja, a força depende de t^2. Queremos encontrar a posição x(t) para qualquer tempo t > 0, sabendo que no instante inicial temos x(0) = x0 e a velocidade inicial dotx(0) = v0.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente as leis de Newton e equações diferenciais. Precisaremos entender como a força afeta a aceleração do móvel e, a partir daí, determinar sua posição ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
F = m cdot a
Onde:
  • F é a força,
  • m é a massa,
  • a é a aceleração.
No nosso caso, a massa m = 1, então a equação fica:
F = a
Ou seja,
a = F

Passo 3

Sabemos que a força é proporcional ao quadrado do tempo, então podemos escrever:
F(t) = k cdot t^2
Como não foi dado um valor específico para a constante de proporcionalidade k, mas como a massa m = 1, podemos simplificar e considerar k = 1, ficando:
F(t) = t^2

Passo 4

Agora, como a = F, temos:
a(t) = t^2
A aceleração a(t) é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja:
a(t) = ddotx(t) = d^2xdt^2
Então, temos a equação diferencial:
d^2xdt^2 = t^2

Passo 5

Para encontrar x(t), precisamos resolver essa equação diferencial. Vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade, e depois integrar a velocidade para encontrar a posição.
Primeira integração:
dxdt = integral ddotx(t) , dt = integral t^2 , dt = t^33 + C1
Onde C1 é a constante de integração.

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar C1. Sabemos que dotx(0) = v0, então:
dotx(0) = 0^33 + C1 = C1 = v0
Portanto, a expressão para a velocidade é:
dxdt = t^33 + v0

Passo 7

Vamos integrar novamente para encontrar a posição x(t):
x(t) = integral ( t^33 + v0 ) dt = t^412 + v0 t + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Passo 8

Usamos a condição inicial da posição para encontrar C2. Sabemos que x(0) = x0, então:
x(0) = 0^412 + v0 cdot 0 + C2 = C2 = x0
Portanto, a expressão para a posição é:
x(t) = t^412 + v0 t + x0

Resposta

A posição do móvel para t > 0 é dada por:
x(t) = x0 + v0 t + t^412

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