Resolver a seguinte equação mista (4° caso):
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem dada por:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Vamos precisar conhecer a resolução de equações homogêneas e o método para encontrar uma solução particular quando o termo não homogêneo é do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica substituindo
:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 5
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação original. Observamos que o termo não homogêneo é
.
Como
já é parte da solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição de solução particular por
para evitar duplicação. Assim, tentamos:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação original e igualamos os coeficientes.
Passo 8
Após substituir e simplificar, encontramos:
Igualando os coeficientes de termos semelhantes, resolvemos para
e
:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.