Resolver a seguinte equação mista (4° caso):
d^2 yd x^2-4 d yd x+4 y=x e^2 x.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem dada por:
d^2 yd x^2 - 4 d yd x + 4 y = x e^2 x
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Vamos precisar conhecer a resolução de equações homogêneas e o método para encontrar uma solução particular quando o termo não homogêneo é do tipo x e^2x.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
d^2 yd x^2 - 4 d yd x + 4 y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica substituindo y = e^r x:
r^2 - 4 r + 4 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática r^2 - 4 r + 4 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz16 - 162 = 42 = 2
Obtemos uma raiz dupla r = 2.

Passo 5

Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = (C1 + C2 x) e^2 x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação original. Observamos que o termo não homogêneo é x e^2x.
Como e^2x já é parte da solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição de solução particular por x para evitar duplicação. Assim, tentamos:
yp(x) = x (A x + B) e^2x = (A x^2 + B x) e^2x
Onde A e B são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculamos as derivadas de yp(x):
d ypd x = (2 A x + B) e^2x + (A x^2 + B x) 2 e^2x = (2A x + B + 2A x^2 + 2B x) e^2x
d^2 ypd x^2 = (2A + 2A cdot 2x + 2B) e^2x + (4A x + 2B + 4A x^2 + 4B x) e^2x = (4A x^2 + (8A + 4B) x + (4A + 2B)) e^2x
Substituímos yp, d ypd x e d^2 ypd x^2 na equação original e igualamos os coeficientes.

Passo 8

Após substituir e simplificar, encontramos:
(A x^2 + B x) e^2x - 4 (2A x + B + 2A x^2 + 2B x) e^2x + 4 (4A x^2 + (8A + 4B) x + (4A + 2B)) e^2x = x e^2x
Igualando os coeficientes de termos semelhantes, resolvemos para A e B:
A = 14, B = -12
Portanto, a solução particular é:
yp(x) = (14 x^2 - 12 x) e^2x

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = (C1 + C2 x + 14 x^2 - 12 x) e^2x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados