Verifique que os raios de convergência das séries de Taylor para as funções sen(x) e cos (x), apresentadas em sala de aula, são R=infty.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para verificar que os raios de convergência das séries de Taylor para as funções sen(x) e cos(x) são R = infty. Vamos falar sobre séries de Taylor, raio de convergência e como provar que nesse caso o raio é infinito. Precisamos usar o teste da razão para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as séries de Taylor para sen(x) e cos(x).
A série de Taylor para sen(x) é:
sen(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
E para cos(x) é:
cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!

Passo 3

Agora, vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência dessas séries. O teste da razão nos ajuda a determinar para quais valores de x a série converge.
O teste da razão diz que, para uma série sum an, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o teste da razão na série de sen(x). Aqui, an = (-1)^n x^2n+1(2n+1)!.
Calculando:
Tomando o valor absoluto:
an+1an = (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)! cdot (2n+1)!(-1)^n x^2n+1 = -x^2n+3(2n+3)! cdot (2n+1)!x^2n+1 = -x^2(2n+3)(2n+2)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando n vai para infinito:
L = limn to infty x^2(2n+3)(2n+2) = 0
Como 0 < 1, pelo teste da razão, a série de sen(x) converge para todo valor de x.

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para a série de cos(x). Aqui, an = (-1)^n x^2n(2n)!.
Calculando:
Tomando o valor absoluto:
an+1an = (-1)^n+1 x^2(n+1)(2(n+1))! cdot (2n)!(-1)^n x^2n = -x^2(2n+2)(2n+1)

Passo 7

Calculando o limite quando n vai para infinito:
L = limn to infty x^2(2n+2)(2n+1) = 0
Novamente, como 0 < 1, pelo teste da razão, a série de cos(x) também converge para todo valor de x.

Resposta

Portanto, os raios de convergência das séries de Taylor para sen(x) e cos(x) são R = infty.

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