Verifique que os raios de convergência das séries de Taylor para as funções e , apresentadas em sala de aula, são .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para verificar que os raios de convergência das séries de Taylor para as funções e são . Vamos falar sobre séries de Taylor, raio de convergência e como provar que nesse caso o raio é infinito. Precisamos usar o teste da razão para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as séries de Taylor para e .
A série de Taylor para é:
E para é:
Passo 3
Agora, vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência dessas séries. O teste da razão nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
O teste da razão diz que, para uma série , calculamos:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o teste da razão na série de sen(x). Aqui, an = (-1)^n x^2n+1(2n+1)!.