Encontre a solução geral do sistema abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais lineares. Basicamente, temos duas equações que mostram como as variáveis
e
mudam ao longo do tempo. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de autovalores e autovetores de matrizes. Vamos passo a passo entender e resolver esse sistema!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor:
Onde:
Aqui,
representa a derivada de
em relação ao tempo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Para isso, resolvemos o determinante da matriz
igualado a zero:
Calculando:
Simplificando:
Expande e resolve a equação quadrática:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes. Esses vetores nos ajudam a construir a solução geral.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor correspondente é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor correspondente é:
Passo 5
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema.
Cada solução particular é da forma:
Onde
é uma constante.
Assim, combinando as soluções para ambos os autovalores:
Resposta
A solução geral do sistema é: