Encontre a solução geral do sistema abaixo:
lx1^prime=54 x1+34 x2 x2^prime=34 x1+54 x2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais lineares. Basicamente, temos duas equações que mostram como as variáveis e mudam ao longo do tempo. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de autovalores e autovetores de matrizes. Vamos passo a passo entender e resolver esse sistema!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor:
x' = A x
Onde:
A = 54 & 34 34 & 54 , x = x1 x2
Aqui, representa a derivada de em relação ao tempo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) da matriz det( 54 - lambda & 34 34 & 54 - lambda ) = (54 - lambda)^2 - (34)^2 = 0 . Para isso, resolvemos o determinante da matriz (54 - lambda)^2 - 916 = 0 igualado a zero:
lambda^2 - 52lambda + 1 = 0
Calculando:
lambda = 52 pm raiz(52)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 = 52 pm raiz254 - 42 = 52 pm raiz942 = 52 pm 322
Simplificando:
lambda1 = 2, lambda2 = 12
Expande e resolve a equação quadrática:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes. Esses vetores nos ajudam a construir a solução geral.
Para 54 - 2 & 34 34 & 54 - 2 v1 v2 = -34 & 34 34 & -34 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos -34v1 + 34v2 = 0 Rightarrow v1 = v2 :
v1 = 1 1
Isso nos dá a equação:
54 - 12 & 34 34 & 54 - 12 v1 v2 = 34 & 34 34 & 34 v1 v2 = 0 0
Então, um autovetor correspondente é:
34v1 + 34v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2
Para v2 = 1 -1 :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor correspondente é:

Passo 5

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema.
Cada solução particular é da forma:
x(t) = C e^lambda t v
Onde x(t) = C1 e^2t 1 1 + C2 e^12 t 1 -1 é uma constante.
Assim, combinando as soluções para ambos os autovalores:

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 e^2t 1 1 + C2 e^12 t 1 -1

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