Encontre a solução geral do sistema abaixo:
lx1^prime=x1+x2+2 x3 x2^prime=x1+2 x2+x3 x3^prime=2 x1+x2+x3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que envolve três funções , e . O objetivo é encontrar a solução geral para esse sistema. Para isso, vamos precisar usar álgebra linear, especificamente o estudo de autovalores e autovetores de matrizes, que nos ajuda a resolver sistemas lineares de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz. Isso facilita encontrar os autovalores e autovetores. A matriz associada ao sistema é:
A = 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Calculando A - lambda I = 1-lambda & 1 & 2 1 & 2-lambda & 1 2 & 1 & 1-lambda :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz.

Passo 5

O determinante é:
det(A - lambda I) = (1-lambda)[(2-lambda)(1-lambda) - 1 cdot 1] - 1[1 cdot (1-lambda) - 1 cdot 2] + 2[1 cdot 1 - (2-lambda) cdot 2]
Simplificando passo a passo:
= (1-lambda)[(2-lambda)(1-lambda) - 1] - 1[(1-lambda) - 2] + 2[1 - 2(2-lambda)]
= (1-lambda)[(2 - 3lambda + lambda^2) - 1] - 1(-1 - lambda) + 2[1 - 4 + 2lambda]
= (1-lambda)(1 - 3lambda + lambda^2) + (1 + lambda) + 2(-3 + 2lambda)
= (1 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 1) + 1 + lambda - 6 + 4lambda
= (lambda^2 - 3lambda + 1) - lambda(lambda^2 - 3lambda + 1) + 1 + lambda - 6 + 4lambda
= lambda^2 - 3lambda + 1 - lambda^3 + 3lambda^2 - lambda + 1 + lambda - 6 + 4lambda
= -lambda^3 + 4lambda^2 + lambda - 4
Portanto, a equação característica é:
-lambda^3 + 4lambda^2 + lambda - 4 = 0
Ou multiplicando por -1 para simplificar:
lambda^3 - 4lambda^2 - lambda + 4 = 0

Passo 6

Vamos resolver a equação cúbica 1 - 4 - 1 + 4 = 0 . Testando possíveis raízes, vemos que (lambda - 1)(lambda^2 - 3lambda - 4) = 0 é uma raiz:
lambda^2 - 3lambda - 4 = 0
Assim, podemos fatorar o polinômio:
lambda = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52
Agora, resolvemos a equação quadrática restante:
lambda = 3 + 52 = 4 e lambda = 3 - 52 = -1
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:
Então, os autovalores são , e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 2 & 1 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos 1 -2 1 :

[
-3 & 1 & 2 1 & -2 & 1 2 & 1 & -3 v1 v2 v3 = 0 0 0
1 1 1

2 & 1 & 2 1 & 3 & 1 2 & 1 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0
]
Resolvendo, obtemos 1 -2 1 .
Para :
Resolvemos :

[


]
Resolvendo, obtemos .
Para :
Resolvemos :

[


]
Resolvendo, obtemos .

Passo 8

Com os autovalores e autovetores encontrados, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
x(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2 + C3 e^lambda3 t v3
Substituindo os valores:
x(t) = C1 e^t 1 -2 1 + C2 e^4t 1 1 1 + C3 e^-t 1 -2 1

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 e^t 1 -2 1 + C2 e^4t 1 1 1 + C3 e^-t 1 -2 1
onde , e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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