Encontre a solução geral do sistema abaixo:
lx1^prime=4 x1-3 x2 x2^prime=8 x1-6 x2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou! Aqui estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz. Isso facilita bastante a nossa vida:
x1' = 4x1 - 3x2 x2' = 8x1 - 6x2
Podemos representar isso como:
x' = Ax
onde
A = 4 & -3 8 & -6
e
x = x1 x2

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
det 4 - lambda & -3 8 & -6 - lambda = (4 - lambda)(-6 - lambda) - (-3)(8)
onde = (4 - lambda)(-6 - lambda) + 24 é a matriz identidade e = (-24 -4lambda +6lambda + lambda^2) + 24 = lambda^2 + 2lambda = lambda(lambda + 2) = 0 representa os autovalores. Calculando:
lambda1 = 0 e lambda2 = -2
Expandindo:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos achar os autovetores correspondentes a cada 4 & -3 8 & -6 v1 v2 = 0 0 .
Para v1 = 3 4 :
Resolvemos 6 & -3 8 & -4 v1 v2 = 0 0 :
v2 = 1 2
Da primeira equação: . Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação: . Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução é da forma:
x(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores que encontramos:
x(t) = c1 e^0 cdot t 3 4 + c2 e^-2 t 1 2
Simplificando:
x(t) = c1 3 4 + c2 e^-2 t 1 2

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = c1 3 4 + c2 e^-2 t 1 2
onde e são constantes arbitrárias.

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