Encontre a solução geral do sistema abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou! Aqui estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz. Isso facilita bastante a nossa vida:
Podemos representar isso como:
onde
e
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica:
onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Calculando:
Expandindo:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos achar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Da primeira equação:
. Podemos escolher
, então
. Assim, o autovetor é:
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Da primeira equação:
. Podemos escolher
, então
. Assim, o autovetor é:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução é da forma:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias.