Encontre a solução geral do sistema abaixo:
lx1^prime=3 x1-2 x2 x2^prime=2 x1-2 x2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais assim:
l x1^prime=3 x1-2 x2 x2^prime=2 x1-2 x2
Nossa missão é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores. Não se preocupa se esses termos parecerem complicados, vamos explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar esse sistema na forma matricial. Isso facilita pra gente trabalhar com os cálculos. A forma matricial fica assim:
x' = A x
Onde:
A = 3 & -2 2 & -2 , x = x1 x2
Aqui, é o vetor das derivadas das funções e .

Passo 3

Agora, pra resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são essenciais porque eles vão nos ajudar a construir a solução geral.
Para achar os autovalores, resolvemos a equação característica:
det( 3 - lambda & -2 2 & -2 - lambda ) = (3 - lambda)(-2 - lambda) - (-2)(2)
Onde = (3 - lambda)(-2 - lambda) + 4 = -6 -3lambda + 2lambda + lambda^2 + 4 = lambda^2 - lambda -2 é a matriz identidade e lambda^2 - lambda - 2 = 0 representa os autovalores. Vamos calcular:
Simplificando:
Então, a equação característica fica:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 para encontrar os autovalores.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 2 e lambda2 = -1
Assim, temos dois autovalores:

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Os autovetores são vetores não nulos que satisfazem a equação:
(A - lambda I)v = 0
Para 3 - 2 & -2 2 & -2 - 2 v1 v2 = 1 & -2 2 & -4 v1 v2 = 0 0 :
Substituindo na equação:

$$
v1 - 2v2 = 0 Rightarrow v1 = 2v2
v1 = 2 1

3 + 1 & -2 2 & -2 +1 v1 v2 = 4 & -2 2 & -1 v1 v2 = 0 0
4v1 - 2v2 = 0 Rightarrow 2v1 = v2

v2 = 1 2
$$
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , então o autovetor é:
Para :
Substituindo na equação:

$$


$$
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 6

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor:
x(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores que encontramos:
x(t) = C1 e^2 t 2 1 + C2 e^-t 1 2
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 e^2 t 2 1 + C2 e^-t 1 2

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