Encontre a solução geral do sistema abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais assim:
Nossa missão é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores. Não se preocupa se esses termos parecerem complicados, vamos explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar esse sistema na forma matricial. Isso facilita pra gente trabalhar com os cálculos. A forma matricial fica assim:
Onde:
Aqui,
é o vetor das derivadas das funções
e
.
Passo 3
Agora, pra resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são essenciais porque eles vão nos ajudar a construir a solução geral.
Para achar os autovalores, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Vamos calcular:
Simplificando:
Então, a equação característica fica:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os autovalores.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos dois autovalores:
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Os autovetores são vetores não nulos que satisfazem a equação:
Para
:
Substituindo na equação:
$$
$$
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher
, então o autovetor é:
Para
:
Substituindo na equação:
$$
$$
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher
, então o autovetor é:
Passo 6
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral do sistema é: