© Utilize o item (a) para encontrar a solução geral do sistema de equações:
l x1^prime(t)=-3 x1(t)+4 x2(t)+4 e^t x2^prime(t)=-2 x1(t)+3 x2(t)+e^t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs de 1ª ordem não homogêneo
x1'(t)=-3x1(t)+4x2(t)+4e^t x2'(t)=-2x1(t)+3x2(t)+e^t
O conteúdo é: solução de sistemas lineares com termo não homogêneo usando a solução do homogêneo (item a) e coeficientes indeterminados.

Passo 2

Do item (a) já sabemos a solução geral do sistema homogêneo x'=Ax com
A=-3&4-2&3
Encontramos autovalores lambda1=1, lambda2=-1 e autovetores v1=(1,1)^T, v2=(2,1)^T. Logo
xh(t)=C111e^t+C221e^-t

Passo 3

Para achar uma particular de forma eficiente (já que e^t corresponde a lambda=1 do homogêneo), postulamos
xp(t)=(t,u+v)e^t,
com u,v vetores constantes a determinar.

Passo 4

Derivando e igualando xp'=Axp+f(t), obtemos a separação em termos "proporcionais a t" e termos constantes:
(A-I)u=0, (I-A)v=41-u
Da 1ª equação u é múltiplo do autovetor v1=(1,1)^T. Das duas equações da 2ª, conclui-se u=-2(1,1)^T e uma solução para v é (3/2,0)^T.

Passo 5

Portanto uma particular válida é
xp(t)=l(t-2-2+3/20r)e^t
Somando homogênea e particular, obtemos a solução geral.

Resposta

x(t)=C111e^t+C221e^-t+l(t-2-2+3/20r)e^t, com C1,C2 constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados