Resolva as seguintes equações diferenciais, usando transformada de laplace:
x^prime prime(t)+3 x^prime(t)+2 x(t)=0
Condições iniciais:
c x(0)=1 x^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace! A gente tem uma equação do segundo grau com derivadas de x em relação ao tempo . Para isso, vamos precisar conhecer a transformada de Laplace e suas propriedades, além de saber como aplicar as condições iniciais na resolução. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Lx''(t) + 3x'(t) + 2x(t) = L0

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas. Então, podemos separar:
Lx''(t) + 3Lx'(t) + 2Lx(t) = 0

Passo 4

Agora, usamos as fórmulas da transformada de Laplace para derivadas. Lembrando que:
Lx'(t) = sX(s) - x(0)
Lx''(t) = s^2X(s) - s x(0) - x'(0)
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 5

Substituindo essas transformadas na equação:
s^2X(s) - s x(0) - x'(0) + 3(sX(s) - x(0)) + 2X(s) = 0

Passo 6

Agora, vamos inserir os valores das condições iniciais: s^2X(s) - s(1) - 0 + 3(sX(s) - 1) + 2X(s) = 0 e s^2X(s) - s + 3sX(s) - 3 + 2X(s) = 0 :
Simplificando:

Passo 7

Vamos agrupar os termos com (s^2 + 3s + 2)X(s) - s - 3 = 0 :
X(s) = s + 3s^2 + 3s + 2
Isolando :

Passo 8

Agora, vamos fatorar o denominador:
s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)
Então:
X(s) = s + 3(s + 1)(s + 2)

Passo 9

Vamos simplificar a fração. Podemos decompor em frações parciais:
s + 3(s + 1)(s + 2) = As + 1 + Bs + 2
Multiplicando ambos os lados por s + 3 = A(s + 2) + B(s + 1) :

Passo 10

Para encontrar -2 + 3 = A(0) + B(-2 + 1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1 e -1 + 3 = A(-1 + 2) + B(0) Rightarrow 2 = A(1) Rightarrow A = 2 , vamos escolher valores de que simplificam a equação. Primeiro, :
Agora, :

Passo 11

Substituindo X(s) = 2s + 1 - 1s + 2 e na expressão de :

Passo 12

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar L^-11s + a = e^-a t . Sabemos que:
x(t) = 2e^-t - e^-2t
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x(t) = 2e^-t - e^-2t

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