Resolva as seguintes equações diferenciais, usando transformada de laplace:
Condições iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace! A gente tem uma equação do segundo grau com derivadas de x em relação ao tempo
. Para isso, vamos precisar conhecer a transformada de Laplace e suas propriedades, além de saber como aplicar as condições iniciais na resolução. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Passo 3
Sabemos que a transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas. Então, podemos separar:
Passo 4
Agora, usamos as fórmulas da transformada de Laplace para derivadas. Lembrando que:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 5
Substituindo essas transformadas na equação:
Passo 6
Agora, vamos inserir os valores das condições iniciais:
e
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos agrupar os termos com
:
Isolando
:
Passo 8
Agora, vamos fatorar o denominador:
Então:
Passo 9
Vamos simplificar a fração. Podemos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Para encontrar
e
, vamos escolher valores de
que simplificam a equação. Primeiro,
:
Agora,
:
Passo 11
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 12
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: