Encontre a solução geral do sistema dado.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema
X'=A X , onde
Isso faz parte de EDOs lineares com coeficientes constantes e vamos usar autovalores/autovetores (ou exponencial de matriz) para resolver.
Passo 2
Observa que a segunda equação está desacoplada:
x2'=6x2 . Isso é só um escalar, cujo resultado é
com
C3 constante de integração.
Passo 3
Agora focamos no subsistema para
(x1,x3) :
Passo 4
Calculamos os autovalores de
A2 pela equação característica
que dá
Passo 5
Como os autovalores são
4pm2i , montamos a solução real combinando partes real e imaginária. Note que se definirmos
então
J0^2=-4I e vale a fórmula
Passo 6
Extraindo vetores reais, obtemos duas soluções independentes para
(x1,x3) :
Passo 7
Juntando tudo, a solução geral do sistema é
com constantes
C1,C2,C3 arbitrárias.