Encontre a solução geral do sistema dado.
X^prime=(rrr4 & 0 & 1 0 & 6 & 0 -4 & 0 & 4) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema X'=A X, onde
A=4&0&10&6&0-4&0&4
Isso faz parte de EDOs lineares com coeficientes constantes e vamos usar autovalores/autovetores (ou exponencial de matriz) para resolver.

Passo 2

Observa que a segunda equação está desacoplada: x2'=6x2. Isso é só um escalar, cujo resultado é
x2(t)=C3e^6t,
com C3 constante de integração.

Passo 3

Agora focamos no subsistema para (x1,x3):
x1x3' =underbrace4&1-4&4A2 x1x3

Passo 4

Calculamos os autovalores de A2 pela equação característica
det(A2-lambda I)=(4-lambda)^2+4=0
que dá
lambda=4pm2i

Passo 5

Como os autovalores são 4pm2i, montamos a solução real combinando partes real e imaginária. Note que se definirmos
J0=A2-4I=0&1-4&0,
então J0^2=-4I e vale a fórmula
exp(A2t)=e^4texp(J0t)=e^4tl(cos(2t)I+tfrac12sin(2t)J0r)

Passo 6

Extraindo vetores reais, obtemos duas soluções independentes para (x1,x3):
u1(t)=e^4tcos2t-2sin2t, u2(t)=e^4tsin2t2cos2t

Passo 7

Juntando tudo, a solução geral do sistema é
X(t)=C1e^4tcos2t0-2e^4tsin2t +C2e^4tsin2t02e^4tcos2t +C30e^6t0,
com constantes C1,C2,C3 arbitrárias.

Resposta

X(t)=C1e^4tcos2t0-2e^4tsin2t+C2e^4tsin2t02e^4tcos2t+C30e^6t0, onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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