( 3 pontos/ 1 ponto cada fatoração) Considere o polinômio p=x^{5}-x^{4}-4 x+4. Determine a fatoragáo completa de p em \mathbb{Q}[x], \mathbb{R}[x] e \mathbb{C}[x].

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=x^{5}-x^{4}-4x+4 e pede a fatoração completa de p em \mathbb{Q}[x], \mathbb{R}[x] e \mathbb{C}[x].
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
  • O polinômio é p(x)=x^{5}-x^{4}-4x+4.
  • Precisamos expressá‑lo como produto de fatores irreduzíveis em \mathbb{Q}[x] (coeficientes racionais), em \mathbb{R}[x] (coeficientes reais) e em \mathbb{C}[x] (coeficientes complexos, ou seja, fatoração em fatores lineares).
  • Não há outras restrições; a fatoração completa em \mathbb{C}[x] deve acabar em cinco fatores lineares (grau 5).

Passo 2

Procurar raízes racionais (teorema das raízes racionais): possíveis raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros são divisores do termo constante dividido por divisores do coeficiente líder. Aqui o termo constante é 4 e o coeficiente líder é 1, então candidatos são \pm1,\pm2,\pm4.
Testar x=1:
p(1)=1^{5}-1^{4}-4\cdot1+4=1-1-4+4=0.
Portanto x=1 é raiz racional. Logo x-1 é um fator de p(x).
(Esses testes convencionais servem para encontrar fatores lineares em \mathbb{Q}[x].)

Passo 3

Dividir p(x) por x-1. Uso divisão sintética (mais rápida):
Coeficientes de p: 1,\,-1,\,0,\,0,\,-4,\,4. Aplicando 1:
  • Trago 1.
  • Multiplico por 1 e somo: -1+1=0.
  • Multiplico 0 por 1 e somo: 0+0=0.
  • Multiplico 0 por 1 e somo: 0+0=0.
  • Multiplico 0 por 1 e somo: -4+0=-4.
  • Multiplico -4 por 1 e somo: 4+(-4)=0 (resto zero, como esperado).
Quociente obtido tem coeficientes 1,\,0,\,0,\,0,\,-4, ou seja o polinômio
x^{4}-4.
Portanto
p(x)=(x-1)\bigl(x^{4}-4\bigr).

Passo 4

Fatorar x^{4}-4. Reconhecemos diferença de quadrados: x^{4}-4=(x^{2})^{2}-(2)^{2}. Aplicando a identidade a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) com a=x^{2} e b=2, temos
x^{4}-4=(x^{2}-2)(x^{2}+2).
Logo, até aqui:
p(x)=(x-1)(x^{2}-2)(x^{2}+2).

Passo 5

Analisar se os quadráticos são irreduzíveis em \mathbb{Q}[x].
  • Para x^{2}-2: as raízes são x=\pm\sqrt{2}, que não são números racionais. Portanto x^{2}-2 é irredutível sobre \mathbb{Q}.
  • Para x^{2}+2: as raízes são x=\pm i\sqrt{2}, que também não são racionais (além de serem complexas não reais). Portanto x^{2}+2 é irredutível sobre \mathbb{Q}.
Conclusão: a fatoração completa em \mathbb{Q}[x] é
p(x)=(x-1)(x^{2}-2)(x^{2}+2),
com x^{2}-2 e x^{2}+2 irreduzíveis sobre \mathbb{Q}.

Passo 6

Fatoração em \mathbb{R}[x].
Regra prática: um polinómio quadrático ax^{2}+bx+c fatora em fatores lineares reais exatamente quando seu discriminante \Delta=b^{2}-4ac é não negativo; se \Delta<0 ele permanece irreduzível (como fator quadrático) em \mathbb{R}[x].
  • Para x^{2}-2: discriminante \Delta=0^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=8>0. Assim fatoramos em fatores lineares reais:
x^{2}-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).
  • Para x^{2}+2: discriminante \Delta=0^{2}-4\cdot1\cdot2=-8<0. Não tem raízes reais, portanto permanece irreduzível em \mathbb{R}[x].
Portanto fatoração em \mathbb{R}[x]:
p(x)=(x-1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^{2}+2).

Passo 7

Fatoração em \mathbb{C}[x].
Teorema fundamental da álgebra: todo polinômio de grau n com coeficientes complexos se fatoriza como produto de n fatores lineares (contando multiplicidades) sobre \mathbb{C}. Já temos três raízes reais 1,\pm\sqrt{2} e as duas raízes restantes são as raízes de x^{2}+2, que são x=\pm i\sqrt{2}. Logo a fatoração completa em \mathbb{C}[x] é
p(x)=(x-1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-i\sqrt{2})(x+i\sqrt{2}).

Resposta

\mathbb{Q}[x]:\\ p(x)=(x-1)(x^{2}-2)(x^{2}+2)
\mathbb{R}[x]:\\ p(x)=(x-1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^{2}+2)
\mathbb{C}[x]:\\ p(x)=(x-1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-i\sqrt{2})(x+i\sqrt{2})

Exercícios relacionados