( 3 pontos/ 1 ponto cada fatoração) Considere o polinômio
. Determine a fatoragáo completa de
em
e
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede a fatoração completa de
em
,
e
.
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
- O polinômio é
. - Precisamos expressá‑lo como produto de fatores irreduzíveis em
(coeficientes racionais), em (coeficientes reais) e em (coeficientes complexos, ou seja, fatoração em fatores lineares). - Não há outras restrições; a fatoração completa em
deve acabar em cinco fatores lineares (grau 5).
Passo 2
Procurar raízes racionais (teorema das raízes racionais): possíveis raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros são divisores do termo constante dividido por divisores do coeficiente líder. Aqui o termo constante é
e o coeficiente líder é
, então candidatos são
.
Testar
:
Portanto
é raiz racional. Logo
é um fator de
.
(Esses testes convencionais servem para encontrar fatores lineares em
.)
Passo 3
Dividir
por
. Uso divisão sintética (mais rápida):
Coeficientes de
:
. Aplicando
:
- Trago
. - Multiplico por
e somo: . - Multiplico
por e somo: . - Multiplico
por e somo: . - Multiplico
por e somo: . - Multiplico
por e somo: (resto zero, como esperado).
Quociente obtido tem coeficientes
, ou seja o polinômio
Portanto
Passo 4
Fatorar
. Reconhecemos diferença de quadrados:
. Aplicando a identidade
com
e
, temos
Logo, até aqui:
Passo 5
Analisar se os quadráticos são irreduzíveis em
.
- Para
: as raízes são , que não são números racionais. Portanto é irredutível sobre . - Para
: as raízes são , que também não são racionais (além de serem complexas não reais). Portanto é irredutível sobre .
Conclusão: a fatoração completa em
é
com
e
irreduzíveis sobre
.
Passo 6
Fatoração em
.
Regra prática: um polinómio quadrático
fatora em fatores lineares reais exatamente quando seu discriminante
é não negativo; se
ele permanece irreduzível (como fator quadrático) em
.
- Para
: discriminante . Assim fatoramos em fatores lineares reais:
- Para
: discriminante . Não tem raízes reais, portanto permanece irreduzível em .
Portanto fatoração em
:
Passo 7
Fatoração em
.
Teorema fundamental da álgebra: todo polinômio de grau
com coeficientes complexos se fatoriza como produto de
fatores lineares (contando multiplicidades) sobre
. Já temos três raízes reais
e as duas raízes restantes são as raízes de
, que são
. Logo a fatoração completa em
é