Encontre a solução geral do sistema de equações.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares homogêneas de primeira ordem.
Os conteúdos necessários são representação matricial do sistema, cálculo de autovalores e autovetores e uso da decomposição espectral para montar a solução geral.
Os conteúdos necessários são representação matricial do sistema, cálculo de autovalores e autovetores e uso da decomposição espectral para montar a solução geral.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial:
onde
Passo 3
Para encontrar os autovalores, resolvemos
Isso leva a
Passo 4
Para cada autovalor calculamos o autovetor.
- Se
, então dá
logo
. Escolhemos
.
2. Se , então
dá
2. Se
logo
. Escolhemos
.
Passo 5
Como
é diagonalizável, a solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais:
com
.
Passo 6
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Isso equivale a
Resposta
A solução geral é
com
.