Encontre a solução geral do sistema de equações.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares homogêneas de primeira ordem.
Os conteúdos necessários são representação matricial do sistema, cálculo de autovalores e autovetores e uso da decomposição espectral para montar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial:
x'(t)=A\,x(t),
onde
x(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Para encontrar os autovalores, resolvemos
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\\ 1 &1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^{2}-1=0.
Isso leva a
(1-\lambda)^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{1}=2,\;\lambda_{2}=0.

Passo 4

Para cada autovalor calculamos o autovetor.
  1. Se \lambda_{1}=2, então (A-2I)v=0
\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix} =0,
logo v_{1}=v_{2}. Escolhemos v^{(1)}=(1,1)^{T}.
2. Se \lambda_{2}=0, então Av=0
\begin{pmatrix}1 &1\\\ 1 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix} =0,
logo v_{1}=-v_{2}. Escolhemos v^{(2)}=(1,-1)^{T}.

Passo 5

Como A é diagonalizável, a solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais:
x(t)=C_{1}e^{\lambda_{1}t}v^{(1)}+C_{2}e^{\lambda_{2}t}v^{(2)},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Passo 6

Substituindo \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=0, v^{(1)}=(1,1)^{T} e v^{(2)}=(1,-1)^{T}, obtemos
x(t)=C_{1}e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Isso equivale a
x_{1}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}, \quad x_{2}(t)=C_{1}e^{2t}-C_{2}.

Resposta

A solução geral é
x(t)=C_{1}e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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