Encontre a solução geral do sistema de equações.
X^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs
X' = A\,X,
onde
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & 4\end{pmatrix}.
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para resolver.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[6pt]3 & 4-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(4-\lambda) - 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 5.
As raízes são
\lambda_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2},
isto é, \lambda_1 = 5 e \lambda_2 = 1.]

Passo 3

Agora achamos os autovetores:
Para \lambda_1 = 5, resolvemos
(A - 5I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-3 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
de onde -3x + y=0, ou seja y = 3x. Um autovetor conveniente é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = 1, resolvemos
(A - I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
de onde x + y=0, ou seja y = -x. Um autovetor conveniente é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Como os autovetores são linearmente independentes, a solução geral do sistema é
X(t) = C_1\,v_1\,e^{\lambda_1 t} + C_2\,v_2\,e^{\lambda_2 t},
isto é,
X(t) = C_1 \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} e^{5t} \;+\; C_2 \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} e^{t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

X(t) = C_1 \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} e^{5t} \;+\; C_2 \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} e^{t}.

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