Exercício 3. Nos itens abaixo, verifique que X é solução do sistema associado.
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}-1 & \frac{1}{4} \\\\ 1 & -1\end{array}\right) X ; \quad X=\binom{-1}{2} e^{-3 t / 2}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
X' = A\,X
com
A = \begin{pmatrix}-1 & \tfrac{1}{4} \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}
e a proposta de solução
X(t) = \binom{-1}{2} e^{-3t/2}.
Para verificar que é, de fato, solução, precisamos calcular X'(t) e comparar com A\,X(t).

Passo 2

Calculamos a derivada de X(t). Como
\frac{d}{dt}e^{-3t/2} = -\tfrac{3}{2}\,e^{-3t/2},
temos
X'(t) = \binom{-1}{2}\,\frac{d}{dt}e^{-3t/2} = -\tfrac{3}{2}\,\binom{-1}{2}\,e^{-3t/2} = \binom{3/2}{-3}\,e^{-3t/2}.

Passo 3

Agora calculamos A\,X(t):
A\,X(t) = \begin{pmatrix}-1 & \tfrac{1}{4} \\\\ 1 & -1\end{pmatrix} \binom{-1}{2}e^{-3t/2} = e^{-3t/2} \begin{pmatrix} (-1)\cdot(-1)+\tfrac{1}{4}\cdot2\\\\ 1\cdot(-1)+(-1)\cdot2 \end{pmatrix} = \binom{3/2}{-3}\,e^{-3t/2}.

Passo 4

Como
X'(t)=\binom{3/2}{-3}\,e^{-3t/2} \quad\text{e}\quad A\,X(t)=\binom{3/2}{-3}\,e^{-3t/2},
seguimos que X'(t)=A\,X(t).

Resposta

X(t)=\binom{-1}{2}e^{-3t/2} é solução do sistema.

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