Exercício 3. Nos itens abaixo, verifique que X é solução do sistema associado.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=-2 x+5 y \\\ \frac{d y}{d t}=-2 x+4 y\end{array} \quad ; \quad X=\binom{5 \cos t}{3 \cos t-\operatorname{sen} t} e^{t}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função vetor
X(t)=\begin{pmatrix}5\cos t\\\ 3\cos t-\sin t\end{pmatrix}e^{t}
é solução do sistema
\begin{cases} \frac{dx}{dt}=-2x+5y,\\\ \frac{dy}{dt}=-2x+4y. \end{cases}
O conteúdo é verificação de solução em sistemas lineares com coeficientes constantes: basta calcular \frac{dX}{dt} e comparar com A\,X, onde
A=\begin{pmatrix}-2&5\\\ -2&4\end{pmatrix}.

Passo 2

Calculemos a derivada de cada componente de X(t) usando a regra do produto \bigl(u(t)v(t)\bigr)'=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Para a primeira componente, x(t)=5\cos t\,e^{t}:
\frac{dx}{dt} =5\bigl(-\sin t\,e^{t}+\cos t\,e^{t}\bigr) =5e^{t}(\cos t-\sin t).
Para a segunda componente, y(t)=(3\cos t-\sin t)e^{t}:
\frac{dy}{dt} =\bigl(-3\sin t-\cos t\bigr)e^{t}+(3\cos t-\sin t)e^{t} =e^{t}\bigl((3\cos t-\cos t)+(-3\sin t-\sin t)\bigr) =e^{t}(2\cos t-4\sin t).

Passo 3

Agora calculemos A\,X(t). Tem-se
A\,X(t) =\begin{pmatrix}-2&5\\\ -2&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\cos t\\\ 3\cos t-\sin t\end{pmatrix}e^{t} =e^{t} \begin{pmatrix} -2\cdot5\cos t+5\,(3\cos t-\sin t)\\\\ -2\cdot5\cos t+4\,(3\cos t-\sin t) \end{pmatrix}.
Isso dá
A\,X(t) =e^{t} \begin{pmatrix} -10\cos t+15\cos t-5\sin t\\\\ -10\cos t+12\cos t-4\sin t \end{pmatrix} =e^{t} \begin{pmatrix} 5\cos t-5\sin t\\\\ 2\cos t-4\sin t \end{pmatrix}.

Passo 4

Comparando com \frac{dX}{dt}=(5e^{t}(\cos t-\sin t),\,e^{t}(2\cos t-4\sin t))^{T}, vemos que
\frac{dX}{dt}=A\,X(t).
Logo, X(t) satisfaz o sistema dado.

Resposta

A função vetor
X(t)=\begin{pmatrix}5\cos t\\\ 3\cos t-\sin t\end{pmatrix}e^{t}
é solução do sistema
\begin{cases} \frac{dx}{dt}=-2x+5y,\\\ \frac{dy}{dt}=-2x+4y. \end{cases}

Exercícios relacionados