Encontre a solução geral do sistema de equações.
Y^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}1 & \sqrt{3} \\\ \sqrt{3} & -1\end{array}\right) Y+\binom{e^{x}}{\sqrt{3} \cdot e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema não homogêneo de equações diferenciais
Y' = A\,Y + g(x),
onde
A = \begin{pmatrix}1 & \sqrt{3} \\[6pt] \sqrt{3} & -1\end{pmatrix}, \qquad g(x) = \begin{pmatrix}e^{x}\\[3pt]\sqrt{3}\,e^{-x}\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral do sistema homogêneo Y'=A\,Y usando autovalores e autovetores, e depois um particular por coeficientes indeterminados (ou pelo método de operadores).]

Passo 2

Para o homogêneo resolvemos
\det(A - \lambda I) = 0.
Calculando,
\det\!\bigl(\begin{pmatrix}1-\lambda & \sqrt{3}\\[3pt]\sqrt{3} & -1-\lambda\end{pmatrix}\bigr) =(1-\lambda)(-1-\lambda)-(\sqrt{3})^2 =\lambda^2-4=0,
logo \lambda_1=2, \lambda_2=-2.
Para \lambda_1=2 o sistema (A-2I)v=0
\begin{pmatrix}-1 & \sqrt{3}\\[3pt]\sqrt{3} & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad v^{(1)}=\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-2 o sistema (A+2I)v=0
\begin{pmatrix}3 & \sqrt{3}\\[3pt]\sqrt{3} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\\ -\,\sqrt{3}\end{pmatrix}.
Logo a solução homogênea é
Y_h(x) =C_1\,e^{2x} \begin{pmatrix}\sqrt{3}\\\ 1\end{pmatrix} + C_2\,e^{-2x} \begin{pmatrix}1\\\ -\,\sqrt{3}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Buscamos Y_p como soma de dois termos proporcionais a e^x e a e^{-x}. Escrevemos
Y_p(x)=u\,e^x + v\,e^{-x},
com vetores constantes u,v\in\mathbb{R}^2. Substituindo em Y'=A\,Y+g e igualando coeficientes de e^x e de e^{-x}, obtemos dois sistemas lineares:
  1. Coeficiente de e^x:
u = A\,u + \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; (I - A)\,u = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
Aqui
I - A =\begin{pmatrix}0 & -\sqrt{3}\\[3pt]-\sqrt{3} & 2\end{pmatrix},
logo resolvendo
\begin{pmatrix}0 & -\sqrt{3}\\[3pt]-\sqrt{3} & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1\u_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}
u=\bigl(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)^T.
  1. Coeficiente de e^{-x}:
-\,v = A\,v + \begin{pmatrix}0\\sqrt{3}\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; (I + A)\,v = -\begin{pmatrix}0\\sqrt{3}\end{pmatrix}.
Aqui
I + A =\begin{pmatrix}2 & \sqrt{3}\\[3pt]\sqrt{3} & 0\end{pmatrix},
e resolvendo
\begin{pmatrix}2 & \sqrt{3}\\[3pt]\sqrt{3} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ -\,\sqrt{3}\end{pmatrix}
v=(-1,\;2/\sqrt{3})^T.
Portanto
Y_p(x) =\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}\\[3pt]-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}e^x + \begin{pmatrix}-1\\[3pt]\tfrac{2}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}e^{-x}.]

Passo 4

A solução geral é
Y(x)=Y_h(x)+Y_p(x),
ou seja
Y(x) =C_1\,e^{2x}\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\\ 1\end{pmatrix} + C_2\,e^{-2x}\begin{pmatrix}1\\\ -\,\sqrt{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}e^x - e^{-x}\\[4pt] -\,\tfrac{1}{\sqrt{3}}\,e^x + \tfrac{2}{\sqrt{3}}\,e^{-x}\end{pmatrix}.]

Resposta

Y(x) =C_1\,e^{2x}\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\\ 1\end{pmatrix} + C_2\,e^{-2x}\begin{pmatrix}1\\\ -\,\sqrt{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\,\tfrac{2}{3}e^x \;-\; e^{-x}\\[6pt] -\,\tfrac{1}{\sqrt{3}}\,e^x \;+\; \tfrac{2}{\sqrt{3}}\,e^{-x} \end{pmatrix},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.]

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