Calcule a integral.
∫₁⁸∛xdx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{8}\sqrt[\,3]{x}\,dx
Observamos que \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}. O conteúdo principal é a regra de potência para integração, que diz que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Encontramos uma primitiva de x^{\frac{1}{3}}. Seja
F(x)=\int x^{\frac{1}{3}}\,dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\,x^{\frac{4}{3}}.

Passo 3

Aplicamos os limites de 1 a 8 na primitiva:
\int_{1}^{8}x^{\frac{1}{3}}\,dx =F(8)-F(1) = \frac{3}{4}\bigl(8^{\frac{4}{3}} - 1^{\frac{4}{3}}\bigr).

Passo 4

Calculamos 8^{\frac{4}{3}}. Como 8^{\frac{1}{3}}=2, então
8^{\frac{4}{3}} = \bigl(8^{\tfrac{1}{3}}\bigr)^{4} = 2^{4} = 16.
Logo
\frac{3}{4}\bigl(16 - 1\bigr) = \frac{3}{4}\cdot15 = \frac{45}{4}.

Resposta

\frac{45}{4}.

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