Encontre a solução geral do sistema de equações.
Y^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{5}{4} & \frac{3}{4} \\\ \frac{3}{4} & -\frac{5}{4}\end{array}\right) Y+\binom{2 x}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
Y' = A\,Y + g(x),
onde
A = \begin{pmatrix}-\tfrac54 & \tfrac34\\[6pt]\tfrac34 & -\tfrac54\end{pmatrix}, \quad g(x) = \binom{2x}{e^x}.
O objetivo é encontrar a solução geral Y(x). Vamos usar o método clássico de decompor em solução homogênea mais solução particular.]

Passo 2

Para achar a solução homogênea Y_h, resolvemos
Y'_h = A\,Y_h.
O polinômio característico de A é
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}-\tfrac54-\lambda & \tfrac34\\[3pt]\tfrac34 & -\tfrac54-\lambda\end{pmatrix} =(\lambda+\tfrac54)^2 - (\tfrac34)^2 =\lambda^2 + \tfrac52\lambda +1 =0,
cuja raízes são
\lambda_1=-\tfrac12,\quad \lambda_2=-2.
Vetor próprio de \lambda_1=-\tfrac12:
(A + \tfrac12 I)v_1=0 \implies v_1=\binom{1}{1}.
Vetor próprio de \lambda_2=-2:
(A +2 I)v_2=0 \implies v_2=\binom{1}{-1}.
Logo
Y_h(x) = C_1 e^{-x/2}\binom{1}{1} + C_2 e^{-2x}\binom{1}{-1}.]

Passo 3

Procuramos solução particular polinomial para a parte g_1(x)=\binom{2x}{0}. Tomamos
Y_p^{(1)}(x) =\begin{pmatrix}A x + B \\[3pt]C x + D\end{pmatrix}.
Então
(Y_p^{(1)})' =\binom{A}{C}, \quad A\,Y_p^{(1)} = \binom{-\tfrac54(Ax+B)+\tfrac34(Cx+D)} {\tfrac34(Ax+B)-\tfrac54(Cx+D)}.
Igualando a (Y_p^{(1)})' = A\,Y_p^{(1)} + \binom{2x}{0}
e identificando coeficientes de x e constantes, obtemos o sistema
\begin{cases} -\,5A +3C +8 = 0,\\\\ 3A-5C=0,\\\\ -\,5B+3D=10,\\\\ 3B-5D=6, \end{cases}
cuja solução é
A=\tfrac52,\; C=\tfrac32,\; B=-\tfrac{17}4,\; D=-\tfrac{15}4.
Portanto
Y_p^{(1)}(x) =\begin{pmatrix}\tfrac52\,x - \tfrac{17}4 \\[4pt]\tfrac32\,x - \tfrac{15}4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para a parte exponencial g_2(x)=\binom{0}{e^x}, tomamos
Y_p^{(2)}(x) = \alpha\,e^x, \quad \alpha=\binom{\alpha_1}{\alpha_2}.
Então
(Y_p^{(2)})' = \alpha\,e^x, \quad A\,Y_p^{(2)} = A\alpha\,e^x,
e a equação é
\alpha\,e^x = A\alpha\,e^x + \binom{0}{1}e^x \;\Longrightarrow\; (I - A)\,\alpha = \binom{0}{1}.
Calculando
I-A = \begin{pmatrix}9/4 & -3/4\\[3pt]-3/4 & 9/4\end{pmatrix},
resolvemos
\begin{pmatrix}9 & -3\\\ -3 & 9\end{pmatrix} \binom{\alpha_1}{\alpha_2} =\binom{0}{4} \;\Longrightarrow\; \alpha_1=\tfrac16,\; \alpha_2=\tfrac12.
Logo
Y_p^{(2)}(x) =\binom{\tfrac16}{\tfrac12}e^x.]

Passo 5

A solução geral é
Y(x) = Y_h(x) + Y_p^{(1)}(x) + Y_p^{(2)}(x).

Resposta

Y(x) = C_1 e^{-x/2}\binom{1}{1} + C_2 e^{-2x}\binom{1}{-1} + \binom{\tfrac52\,x - \tfrac{17}4}{\tfrac32\,x - \tfrac{15}4} + \binom{\tfrac16}{\tfrac12}e^x.

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