Calcule a integral.
∫₀¹(1+1/2u⁴−2/5u⁹)du

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(1 + \tfrac12\,u^{4} - \tfrac25\,u^{9}\bigr)\,du.
O conteúdo aqui é integração de polinômios: para cada termo u^{n} usamos
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.

Passo 2

Primeiro, separamos a soma de integrais:
\int_{0}^{1}\bigl(1 + \tfrac12\,u^{4} - \tfrac25\,u^{9}\bigr)\,du = \int_{0}^{1}1\,du + \tfrac12\int_{0}^{1}u^{4}\,du - \tfrac25\int_{0}^{1}u^{9}\,du.

Passo 3

Agora integramos cada termo:
– Para o primeiro,
\int_{0}^{1}1\,du = \bigl[u\bigr]_{0}^{1} = 1.
– Para o segundo,
\int_{0}^{1}u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{5},
logo multiplicando pelo coeficiente dá \tfrac12\cdot\tfrac15 = \tfrac{1}{10}.
– Para o terceiro,
\int_{0}^{1}u^{9}\,du = \frac{u^{10}}{10}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{10},
e com o coeficiente -\tfrac25 fica -\tfrac25\cdot\tfrac{1}{10} = -\tfrac{2}{50} = -\tfrac{1}{25}.

Passo 4

Somando tudo:
1 + \tfrac{1}{10} - \tfrac{1}{25} = 1 + \frac{5}{50} - \frac{2}{50} = 1 + \frac{3}{50} = \frac{50}{50} + \frac{3}{50} = \frac{53}{50}.

Resposta

\dfrac{53}{50}

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