Encontre a solução geral do sistema de equações:
x^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & -2 \\\\ 3 & -4\end{array}\right) x

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sistema diferencial ordinário homogêneo e linear de primeira ordem com coeficientes constantes
x' = \begin{pmatrix}1 & -2\\\ 3 & -4\end{pmatrix}x.
O conteúdo da matéria é resolução de sistemas por autovalores e autovetores.

Passo 2

Para determinar os autovalores, montamos o polinômio característico
p(\lambda) = \det\!\Bigl(\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 3 & -4\end{pmatrix} - \lambda I\Bigr) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\\ 3 & -4-\lambda\end{pmatrix} = \lambda^2 + 3\lambda + 2.
As raízes de p(\lambda)=0 são \lambda_1=-1 e \lambda_2=-2.

Passo 3

Para cada autovalor \lambda, achamos um autovetor não trivial resolvendo (A - \lambda I)v=0.
Para \lambda_1=-1:
(A + I)v = \begin{pmatrix}2 & -2\\\ 3 & -3\end{pmatrix}v = 0 \quad\Longrightarrow\quad v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-2:
(A + 2I)v = \begin{pmatrix}3 & -2\\\ 3 & -2\end{pmatrix}v = 0 \quad\Longrightarrow\quad v^{(2)} = \begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Sabendo que cada solução fundamental é da forma x_j(t) = e^{\lambda_j t}\,v^{(j)}, a solução geral do sistema é a combinação linear dessas soluções:

Resposta

x(t) = C_1\,e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2\,e^{-2t}\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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