Nos exercícios de 11 a 30, calcular as integrais indefinidas.
\int \operatorname{tg}^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \tan^{2}x \,\csc^{2}x \,dx.
O conteúdo aqui é manipular identidades trigonométricas para simplificar o integrando e depois aplicar uma primitiva básica.

Passo 2

Observe que
\tan^{2}x \,\csc^{2}x = \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\cdot\frac{1}{\sin^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x} = \operatorname{sec}^{2}x.
Logo a integral se reduz a
\int \operatorname{sec}^{2}x \,dx.

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x,
portanto
\int \operatorname{sec}^{2}x \,dx = \tan x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\tan x + C

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