Resolva o problema de valor inicial dado:
3) X^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ -1 & 1 & 3\end{array}\right) X, X(6)=\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de EDOs com coeficientes constantes
X' = A\,X,\quad A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\\ 0 & 2 & 2\\\ -1&1&3\end{pmatrix},
e a condição inicial em t=6:
X(6)=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
O método que vamos usar é diagonalizar A (quando possível), escrevendo a solução geral como combinação linear de e^{\lambda t}v, onde \lambda e v são autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 2\\\\ 0 & 2-\lambda & 2\\\\ -1&1&3-\lambda \end{pmatrix} = \lambda^3-6\lambda^2+11\lambda-6 = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3).
Logo, os autovalores são \lambda_1=1, \lambda_2=2 e \lambda_3=3.

Passo 3

Para cada \lambda_i achamos um autovetor v_i:
  1. \lambda_1=1:
(A-I)v=0\;\Longrightarrow\; v_1=\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.
  1. \lambda_2=2:
(A-2I)v=0\;\Longrightarrow\; v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. \lambda_3=3:
(A-3I)v=0\;\Longrightarrow\; v_3=\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

A solução geral é
X(t)=c_1e^{t}v_1 + c_2e^{2t}v_2 + c_3e^{3t}v_3.
Em t=6 temos
X(6)=c_1e^{6}v_1 + c_2e^{12}v_2 + c_3e^{18}v_3 =\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} c_2e^{12}+2c_3e^{18}=2,\\\\ -2c_1e^{6}+c_2e^{12}+2c_3e^{18}=0,\\\ c_1e^{6}+c_3e^{18}=1. \end{cases}

Passo 5

Da segunda equação menos a primeira vem
-2c_1e^{6}=-2\quad\Longrightarrow\quad c_1=e^{-6}.
Da terceira equação: c_1e^6+c_3e^{18}=1 implica 1+c_3e^{18}=1, logo c_3=0.
Finalmente, da primeira equação c_2e^{12}=2, ou seja c_2=2e^{-12}.

Resposta

Substituindo c_1, c_2, c_3 obtemos
X(t) =e^{-6}e^t\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix} +2e^{-12}e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2e^{2(t-6)}\\\\ -2e^{t-6}+2e^{2(t-6)}\\\ e^{t-6} \end{pmatrix}.

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