Resolva o problema de valor inicial dado: 3) X^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ -1 & 1 & 3\end{array}\right) X, X(6)=\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right) Passo 1O enunciado dá o sistema linear de EDOs com coeficientes constantes X' = A\,X,\quad A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\\ 0 & 2 & 2\\\ -1&1&3\end{pmatrix}, e a condição inicial em t=6: X(6)=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}. O método que vamos usar é diagonalizar A (quando possível), escrevendo a solução geral como combinação linear de e^{\lambda t}v, onde \lambda e v são autovalores e autovetores de A. Passo 2Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 2\\\\ 0 & 2-\lambda & 2\\\\ -1&1&3-\lambda \end{pmatrix} = \lambda^3-6\lambda^2+11\lambda-6 = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3). Logo, os autovalores são \lambda_1=1, \lambda_2=2 e \lambda_3=3. Passo 3Para cada \lambda_i achamos um autovetor v_i: \lambda_1=1: (A-I)v=0\;\Longrightarrow\; v_1=\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}. \lambda_2=2: (A-2I)v=0\;\Longrightarrow\; v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. \lambda_3=3: (A-3I)v=0\;\Longrightarrow\; v_3=\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}. Passo 4A solução geral é X(t)=c_1e^{t}v_1 + c_2e^{2t}v_2 + c_3e^{3t}v_3. Em t=6 temos X(6)=c_1e^{6}v_1 + c_2e^{12}v_2 + c_3e^{18}v_3 =\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}. Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema \begin{cases} c_2e^{12}+2c_3e^{18}=2,\\\\ -2c_1e^{6}+c_2e^{12}+2c_3e^{18}=0,\\\ c_1e^{6}+c_3e^{18}=1. \end{cases} Passo 5Da segunda equação menos a primeira vem -2c_1e^{6}=-2\quad\Longrightarrow\quad c_1=e^{-6}. Da terceira equação: c_1e^6+c_3e^{18}=1 implica 1+c_3e^{18}=1, logo c_3=0. Finalmente, da primeira equação c_2e^{12}=2, ou seja c_2=2e^{-12}. RespostaSubstituindo c_1, c_2, c_3 obtemos X(t) =e^{-6}e^t\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix} +2e^{-12}e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2e^{2(t-6)}\\\\ -2e^{t-6}+2e^{2(t-6)}\\\ e^{t-6} \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre a solução geral do sistema de equações: x^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & -2 \\\\ 3 & -4\end{array}\right) x Nos exercícios de 11 a 30, calcular as integrais indefinidas. \int \operatorname{tg}^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x d x Encontre a solução geral do sistema de equações: t X^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right) X Encontre a solução geral do sistema de equações: 3) t x^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\\\ 2 & -1\end{array}\right) x, t>0