Encontre a solução geral do sistema de equações:
  1. t X^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
tX' = A\,X,
onde
A = \begin{pmatrix}2 & -1\\\ 3 & -2\end{pmatrix}.
Este é um sistema do tipo Euler-Cauchy matricial. Para resolvê-lo, vamos usar o ansatz
X(t) = t^{r}v,
onde r é um escalar e v é um vetor constante, reduzindo o problema a um autovalor de A.

Passo 2

Substituindo X(t)=t^{r}v em tX'=A\,X, obtemos
X'(t) = r\,t^{r-1}v \quad\Longrightarrow\quad tX' = r\,t^{r}v.
Logo a equação vira
r\,t^{r}v = A\,t^{r}v \quad\Longrightarrow\quad r\,v = A\,v,
que é exatamente o problema de autovalores de A.

Passo 3

O polinômio característico de A satisfaz
\det(A - rI) = \det\!\begin{pmatrix}2-r & -1\\\ 3 & -2-r\end{pmatrix} = (2-r)(-2-r)+3 = r^{2}-1.
Portanto os autovalores são
r_{1} = 1, \quad r_{2} = -1.

Passo 4

Para r_{1}=1 resolvemos
(A - I)v_{1} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 3 & -3\end{pmatrix}v_{1}=0
que dá v_{1}=(1,1)^{T}.
Para r_{2}=-1 resolvemos
(A + I)v_{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}3 & -1\\\ 3 & -1\end{pmatrix}v_{2}=0
que dá v_{2}=(1,3)^{T}.

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
X(t) = C_{1}\,t^{r_{1}}\,v_{1} \;+\; C_{2}\,t^{r_{2}}\,v_{2} = C_{1}\,t^{1}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}\,t^{-1}\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

X(t) = C_{1}\,t\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}\,\frac1t\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.

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