Encontre a solução geral do sistema de equações.
X^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 8 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares com coeficientes constantes
X' = A\,X,
onde
A = \begin{pmatrix}-1 & 8\\[6pt]1 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é o método de autovalores e autovetores: primeiro obtemos o polinômio característico de A, em seguida seus autovalores \lambda e autovetores v, e por fim montamos a combinação linear de v\,e^{\lambda t}.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 8\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(-1-\lambda)(1-\lambda)-8 =\lambda^{2}-9.]

Passo 3

Determinar os autovalores como raízes de \lambda^{2}-9=0:
\lambda^{2}-9=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm 3.
Logo \lambda_{1}=3 e \lambda_{2}=-3.

Passo 4

Para cada autovalor \lambda, resolvemos (A-\lambda I)v=0:
  • Se \lambda_{1}=3,
(A-3I)=\begin{pmatrix}-4 & 8\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad -4x+8y=0\;\Rightarrow\;y=\tfrac12x,
escolhendo x=2 obtemos o autovetor
v_{1}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Se \lambda_{2}=-3,
(A+3I)=\begin{pmatrix}2 & 8\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad 2x+8y=0\;\Rightarrow\;y=-\tfrac14x,
escolhendo x=4 obtemos
v_{2}=\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução geral do sistema é a combinação linear dos modos v_{i}e^{\lambda_{i}t}:
X(t) = C_{1}\,v_{1}\,e^{3t} + C_{2}\,v_{2}\,e^{-3t},
isto é,
X(t) = C_{1}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}e^{3t} + C_{2}\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix}e^{-3t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

X(t) = C_{1}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}e^{3t} + C_{2}\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix}e^{-3t}.

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