Encontre a solução geral do sistema de equações:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs
usando teoria de sistemas lineares: vamos encontrar autovalores, autovetores e, como
A será defectivo, um autovetor generalizado.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A :
Logo existe autovalor
lambda=1 de multiplicidade algébrica 2.
Passo 3
Buscamos autovetores resolvendo
(A-I)v=0 :
Tomando
v2=1 , um autovetor é
Vemos que só há um autovetor, ou seja,
A é defectivo.
Passo 4
Para formar a base de solução, precisamos de um autovetor generalizado
w tal que
Isso dá o sistema
cuja única equação (ambas linhas são múltiplos) nos permite escolher, por exemplo,
w2=0 ,
w1=1 . Assim,
Passo 5
Para
lambda=1 com autovetor
v e generalizado
w , a solução geral é
isto é,
com
C1,C2inR .