Encontre a solução geral do sistema de equações:
x^prime=(cc3 & -4 1 & -1) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs
x' = A,x, A = 3 & -41 & -1,
usando teoria de sistemas lineares: vamos encontrar autovalores, autovetores e, como A será defectivo, um autovetor generalizado.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) =det3-lambda & -41 & -1-lambda =(3-lambda)(-1-lambda)-(-4) =lambda^2-2lambda+1=(lambda-1)^2
Logo existe autovalor lambda=1 de multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Buscamos autovetores resolvendo (A-I)v=0:
(A-I)=2 & -41 & -2, 2v1-4v2=0;Longrightarrow;v1=2v2
Tomando v2=1, um autovetor é
v=21
Vemos que só há um autovetor, ou seja, A é defectivo.

Passo 4

Para formar a base de solução, precisamos de um autovetor generalizado w tal que
(A-I)w = v
Isso dá o sistema
2w1-4w2 = 2,
cuja única equação (ambas linhas são múltiplos) nos permite escolher, por exemplo, w2=0, w1=1. Assim,
w=10

Passo 5

Para lambda=1 com autovetor v e generalizado w, a solução geral é
x(t) = C1,e^t,v + C2,e^tl(t,v + wr),
isto é,
x(t) = C1,e^t 21 + C2,e^t l( t21 +10 r),
com C1,C2inR.

Resposta

x(t) = C1,e^t 21 + C2,e^t l( t21 +10 r), C1,C2inR

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