Para os sistemas de equações lineares de primeira ordem, determine a solução geral como combinação de funções reais. A seguir, desenhe o campo de direções, esboce algumas trajetórias e descreva o comportamento das soluções quando t infty. (Sugestão: use um computador para obter os campos de direção)
x^prime=(cc-1 & -4 -1 & -1) x

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de primeira ordem
x' = A,x, A = -1 & -4 [6pt] -1 & -1,
e pede a solução geral como combinação de funções reais, o campo de direções, esboço de algumas trajetórias e o comportamento quando ttoinfty.
Para resolver isso, vamos usar o método de autovalores e autovetores de matrizes 2times 2, depois escrever a solução geral, interpretar o campo de direções (sistema linear de saddle) e descrever a dinâmica assintótica.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
chi(lambda)=det(A-lambda I) =det-1-lambda & -4 [3pt]-1 & -1-lambda =(-1-lambda)^2-(-4)(-1) =lambda^2+2lambda-3
As raízes são
lambda^2+2lambda-3=0 Longrightarrow lambda1=1, lambda2=-3 ]

Passo 3

Agora achamos um autovetor para lambda1=1:
(A - I)v = 0 ;Longrightarrow; -2 & -4 [3pt]-1 & -2v=0 ;Longrightarrow; v^(1) = -2[3pt]1
Para lambda2=-3:
(A +3I)w = 0 ;Longrightarrow; 2 & -4 [3pt]-1 & 2w=0 ;Longrightarrow; w^(2) = 2[3pt]1 ]

Passo 4

A solução geral do sistema é a combinação linear real dos modos próprios:
x(t) = C1,e^lambda1 t,v^(1) + C2,e^lambda2 t,w^(2) = C1,e^t-21 + C2,e^-3t21,
onde C1,C2inR são constantes determinadas pela condição inicial x(0).

Passo 5

O campo de direções de um saddle mostra que ao longo da reta gerada por w^(2)=(2,1) (autovetor estável, lambda2=-3) as trajetórias vão para o ponto de sela (origem) quando ttoinfty, e ao longo da reta gerada por v^(1)=(-2,1) (autovetor instável, lambda1=1) as trajetórias se afastam exponencialmente, apontando para fora. Trajetórias iniciais fora desses eixos tenderão a se aproximar do eixo instável à medida que ttoinfty e a se afastar ao longo dele.

Passo 6

Como lambda1=1>0 e lambda2=-3<0, o sistema é um ponto de sela.
  • Se C1neq0, o termo C1e^tv^(1) domina e |x(t)|toinfty na direção de v^(1) quando ttoinfty.
  • Se C1=0, x(t)=C2e^-3tw^(2)to0 exponencialmente, ou seja, aproxima-se da origem na reta estável.

Resposta

A solução geral é
x(t) = C1,e^t-2[3pt]1 + C2,e^-3t2[3pt]1
O ponto de equilíbrio na origem é um saddle: ao longo de span(2,1) as trajetórias convergem para a origem como ttoinfty e, em qualquer outra direção com componente em span(-2,1), as trajetórias divergem exponencialmente para o infinito.]

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