Encontre a solução geral do sistema de equações:
x^prime=(ll4 & -2 8 & -4) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear
x' = A,x, A = 4 & -2[6pt]8 & -4
Isso envolve aplicação da teoria de sistemas lineares de primeira ordem: calcular valores próprios de A, encontrar vetores próprios, verificar se é necessário vetor próprio generalizado e montar a forma de Jordan para escrever a solução.]

Passo 2

Encontramos os autovalores lambda resolvendo
det(A - lambda I) = det4-lambda & -2[4pt]8 & -4-lambda = (4-lambda)(-4-lambda)-(-2)cdot8 = lambda^2 = 0
Logo lambda=0 com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Para lambda=0 resolvemos A v=0. Da primeira linha
4x1-2x2=0;Longrightarrow;2x1=x2,
então os vetores próprios formam o subespaço spanv1, com
v1 = 12
Só há uma direção própria, então A não é diagonalizável.

Passo 4

Precisamos de um vetor generalizado tal que
isto é
Da primeira linha vem , e a segunda é o dobro, consistente. Uma solução conveniente é
pois . Assim
]

Passo 5

Como lambda=0, as funções e^lambda t valem 1. A cadeia de Jordan gera duas soluções fundamentais:
x^(1)(t)=v1, x^(2)(t)=t,v1 + v2
Portanto a solução geral é combinação linear dessas duas:

Resposta

x(t) = C112 + C2l(t12 +1/21/2r),
onde C1,C2 são constantes arbitrárias.

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