Para os sistemas de equações lineares de primeira ordem, determine a solução geral como combinação de funções reais. A seguir, desenhe o campo de direções, esboce algumas trajetórias e descreva o comportamento das soluções quando . (Sugestão: use um computador para obter os campos de direção)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de primeira ordem
x' = 1 & 1 4 & -2 x,
obtendo a solução geral em termos de funções reais, depois desenhar o campo de direções, esboçar algumas trajetórias e descrever o comportamento das soluções quando t to infty. Vamos usar autovalores e autovetores para a parte de solução geral e argumentos geométricos para o campo e o comportamento assintótico.
Passo 2
Calculamos os autovalores de
resolvendo :
Logo e .
Para , dá
escolhemos .
Para , dá
escolhemos .
Passo 3
A partir dos autovalores e autovetores, a solução geral é
x(t) =C1,v^(1)e^lambda1 t+C2,v^(2)e^lambda2 t =C111e^2t +C21-4e^-3t,
onde C1,C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
O campo de direções no plano (x,y) vem das equações
x'=x+y, y'=4x-2y,
ou seja, a inclinação das tangentes é
dydx=y'x'=4x-2yx+y
Isso gera um ponto de sela:
As retas próprias são y=x (autovetor associado a lambda1=2) e y=-4x (autovetor associado a lambda2=-3).
Próximo à reta y=x, as soluções divergem exponencialmente à medida que t cresce; próximo à reta y=-4x, convergem exponencialmente ao ponto de equilíbrio em x=0.
Num esboço: ao longo de y=-4x as setas apontam para a origem (estável), e ao longo de y=x apontam para fora (instável). Trajetórias gerais aproximam-se da reta estável quando tto-infty e divergem seguindo a reta instável quando tto+infty.
Passo 5
Comportamento quando ttoinfty:
Para condições iniciais genéricas (componente na direção de v^(1)neq0), o termo C1e^2t domina e |x(t)|toinfty exponencialmente ao longo da direção y=x.
Apenas se C1=0 (inicial sobre a reta y=-4x) a solução tende a zero, decaindo como e^-3t.
Portanto o ponto de equilíbrio em 0 é um ponto de sela, com uma reta estável e outra instável.
Resposta
A solução geral do sistema é
x(t) =C111e^2t +C21-4e^-3t
O campo de direções mostra um ponto de sela com retas próprias y=x (instável) e y=-4x (estável). Trajetórias convergem para a origem apenas se estiverem sobre y=-4x; caso contrário, divergem exponencialmente seguindo a direção y=x quando ttoinfty.