Encontre a solução geral do sistema de equações:
x^prime=(ll2 & -5 1 & -2) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema auto-ônomo
x' = A,x,
com
A = 2 & -5[6pt]1 & -2
Vamos usar a noção de exponencial de matriz e observar que A satisfaz uma relação simples que facilita o cálculo de e^At.]

Passo 2

Calculamos A^2:
A^2 = 2 & -5[3pt]1 & -2 2 & -5[3pt]1 & -2 = 4-5 & -10+10[3pt]2-2 & -5+4 = -1 & 0[3pt]0 & -1 = -I
Logo, A^2=-I.]

Passo 3

Quando uma matriz satisfaz A^2=-I, sua exponencial é
e^At = Icos t + Asin t

Passo 4

Substituindo I e A na fórmula acima, obtemos
e^At = cos t & 0[3pt]0 & cos t + sin t 2 & -5[3pt]1 & -2 = cos t + 2,sin t & -5,sin t[4pt] sin t & cos t - 2,sin t ]

Passo 5

A solução geral do sistema é
x(t) = e^At,C,
onde C=(C1,C2)^T é o vetor de constantes de integração. Escrevendo componente a componente:
x(t) = cos t + 2sin t & -5sin t[4pt] sin t & cos t - 2sin t C1[3pt]C2 ]

Resposta

x1(t)=C1l(cos t+2sin tr)-5,C2sin t, x2(t)=C1sin t+ C2l(cos t-2sin tr),
com C1,C2 constantes reais.

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