Encontre a solução geral do sistema de equações:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema auto-ônomo
com
Vamos usar a noção de exponencial de matriz e observar que
A satisfaz uma relação simples que facilita o cálculo de
e^At .]
Passo 2
Calculamos
A^2 :
Logo,
A^2=-I .]
Passo 3
Quando uma matriz satisfaz
A^2=-I , sua exponencial é
Passo 4
Substituindo
I e
A na fórmula acima, obtemos
Passo 5
A solução geral do sistema é
onde
C=(C1,C2)^T é o vetor de constantes de integração. Escrevendo componente a componente:
Resposta
com
C1,C2 constantes reais.