Resolva o problema de valor inicial dado: 3) X^prime=(ccc1 & 1 & 2 0 & 2 & 0 -1 & 1 & 3) X, X(0)=(l2 0 1) Passo 1O enunciado dá o sistema linear autônomo X' = A,X, A = 1 & 1 & 20 & 2 & 0-1 & 1 & 3, X(0)=201 e pede a solução X(t). O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de sistemas, com possível desacoplamento e redução a uma equação de segunda ordem. Passo 2Escrevendo componentes X=(x1,x2,x3)^T, o sistema vira x1' = x1 + x2 + 2x3, x2' = 2x2, x3' = -x1 + x2 +3x3 Da segunda equação tiramos direto x2' = 2x2, x2(0)=0 Longrightarrow x2(t)=0 forall t Passo 3Com que podemos unir numa só equação para . Diferenciando, Mas também Igualando, A equação característica é , com raízes . Logo a solução geral é Passo 4Usamos as condições iniciais. De x1(0)=2 segue C1 = 2 Para achar C2 calculamos x1'(t) = e^2tl(2(C1cos t + C2sin t) +(-C1sin t + C2cos t)r), logo em t=0 x1'(0) = 2C1 + C2 Mas pela equação original em t=0, x1'(0)=x1(0)+2x3(0)=2+2cdot1=4, então 2cdot2 + C2=4implies C2=0. Assim x1(t) = 2e^2tcos t Passo 5Voltando em x3 = tfracx1' - x12, calculamos x1'(t) = 4e^2tcos t -2e^2tsin t, então x3(t) = 4e^2tcos t -2e^2tsin t -2e^2tcos t2 = e^2tl(cos t - sin tr) E já tínhamos x2(t)=0. Resposta X(t) = 2e^2tcos t [6pt] 0 [3pt] e^2tl(cos t - sin tr) ] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre a solução geral do sistema de equações: x^prime=(ll2 & -5 1 & -2) x Encontre a solução geral do sistema de equações: x^prime=(ll3 & -2 4 & -1) x Resolva o problema de valor inicial dado: 4) X^prime=(ll1 & -5 1 & -3) X, X(0)=binom11