Resolva o problema de valor inicial dado:
3) X^prime=(ccc1 & 1 & 2 0 & 2 & 0 -1 & 1 & 3) X, X(0)=(l2 0 1)

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear autônomo
X' = A,X, A = 1 & 1 & 20 & 2 & 0-1 & 1 & 3, X(0)=201
e pede a solução X(t). O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de sistemas, com possível desacoplamento e redução a uma equação de segunda ordem.

Passo 2

Escrevendo componentes X=(x1,x2,x3)^T, o sistema vira
x1' = x1 + x2 + 2x3, x2' = 2x2, x3' = -x1 + x2 +3x3
Da segunda equação tiramos direto
x2' = 2x2, x2(0)=0 Longrightarrow x2(t)=0 forall t

Passo 3

Com
que podemos unir numa só equação para . Diferenciando,
Mas também
Igualando,
A equação característica é , com raízes . Logo a solução geral é

Passo 4

Usamos as condições iniciais. De x1(0)=2 segue
C1 = 2
Para achar C2 calculamos
x1'(t) = e^2tl(2(C1cos t + C2sin t) +(-C1sin t + C2cos t)r),
logo em t=0
x1'(0) = 2C1 + C2
Mas pela equação original em t=0,
x1'(0)=x1(0)+2x3(0)=2+2cdot1=4,
então 2cdot2 + C2=4implies C2=0. Assim
x1(t) = 2e^2tcos t

Passo 5

Voltando em x3 = tfracx1' - x12, calculamos
x1'(t) = 4e^2tcos t -2e^2tsin t,
então
x3(t) = 4e^2tcos t -2e^2tsin t -2e^2tcos t2 = e^2tl(cos t - sin tr)
E já tínhamos x2(t)=0.

Resposta

X(t) = 2e^2tcos t [6pt] 0 [3pt] e^2tl(cos t - sin tr) ]

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