Encontre a solução geral dos sistemas abaixo:
X^{\prime}=\left[ \begin{array}{ll}2 & -3 \\ 1 & -2\end{array}\right] X

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral do sistema linear a coeficientes constantes
X' = \begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix} X.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix},
e precisamos determinar todas as funções vetoriais X(t) que satisfazem X'(t)=A\,X(t). Não há condições iniciais fornecidas, então queremos a solução geral com constantes arbitrárias.]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para um sistema linear com matriz constante A, procuramos soluções do tipo X(t)=e^{\lambda t}v, onde \lambda é um número (autovalor) e v um vetor não nulo (autovetor). Se X(t)=e^{\lambda t}v, então X'(t)=\lambda e^{\lambda t}v. Substituindo em X'=AX obtemos
\lambda e^{\lambda t}v = A e^{\lambda t}v \quad\Longrightarrow\quad (A-\lambda I)v=0.
Isso significa que \lambda e v devem satisfazer a equação de autovalores/autovetores. Sempre que conseguirmos dois autovalores distintos com autovetores linearmente independentes para uma matriz 2\times2, as soluções correspondentes e^{\lambda t}v formam uma base do espaço de soluções, e a solução geral é combinação linear dessas soluções. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Escrevemos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & -3 \\[4pt] 1 & -2-\lambda\end{pmatrix},
então o determinante é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-3)\cdot 1.
Agora expandimos cuidadosamente: primeiro (2-\lambda)(-2-\lambda)= -4 +\lambda^2 (porque 2\cdot(-2)=-4, os termos em \lambda se cancelam) e somando +3 (do -(-3)) obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2 -4 +3 = \lambda^2 -1.]

Passo 4

Encontrar os autovalores resolvendo \lambda^2-1=0. Isso dá
\lambda^2-1=(\lambda-1)(\lambda+1)=0,
portanto
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=-1.
Temos dois autovalores reais distintos, o que é ótimo porque normalmente garante dois autovetores linearmente independentes.

Passo 5

Calcular um autovetor associado a \lambda_1=1\). Precisamos resolver \((A-I)v=0\). Escrevendo a matriz: \[A-I=\begin{pmatrix}2-1 & -3 \\[4pt] 1 & -2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}.
Sendo v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}, o sistema linear é
\begin{cases} v_1-3v_2=0,\\[4pt] v_1-3v_2=0. \end{cases}
Ambas equações são a mesma, então temos v_1=3v_2\]. Tomando \(v_2=1 (escolha prática), obtemos o autovetor
v^{(1)}=\begin{pmatrix}3\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo escalar desse vetor também serve; escolhemos essa forma por simplicidade.]

Passo 6

Calcular um autovetor associado a \lambda_2=-1\). Resolvemos \((A+I)v=0\). Escrevendo a matriz: \[A+I=\begin{pmatrix}2+1 & -3 \\[4pt] 1 & -2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -3 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
O sistema é
\begin{cases} 3v_1-3v_2=0,\\[4pt] v_1-v_2=0. \end{cases}
Ambas equações dizem v_1=v_2\]. Tomando \(v_1=1 e v_2=1 obtemos o autovetor
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificar independência linear dos autovetores (rápido): v^{(1)}=(3,1)^T não é múltiplo escalar de v^{(2)}=(1,1)^T (pois 3\neq 1), então são linearmente independentes. Assim, as duas soluções e^{\lambda_1 t}v^{(1)} e e^{\lambda_2 t}v^{(2)} formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 8

Construir a solução geral como combinação linear das soluções fundamentais. Usando constantes arbitrárias C_1,C_2\in\mathbb{R}, a solução geral é
X(t)=C_1 e^{\lambda_1 t} v^{(1)} + C_2 e^{\lambda_2 t} v^{(2)}.
Substituindo \lambda_1=1,\\ \lambda_2=-1 e os vetores encontrados, obtemos
X(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}3\\[4pt] 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes que seriam determinadas por condições iniciais, se fornecidas.]

Resposta

X(t)=C_{1}e^{t}\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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