Encontre a solução geral dos sistemas abaixo:
X^{\prime}=\left[
\right] X
X^{\prime}=\left[
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral do sistema linear a coeficientes constantes
Informações dadas:
e precisamos determinar todas as funções vetoriais
que satisfazem
. Não há condições iniciais fornecidas, então queremos a solução geral com constantes arbitrárias.]
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para um sistema linear com matriz constante
, procuramos soluções do tipo
, onde
é um número (autovalor) e
um vetor não nulo (autovetor). Se
, então
. Substituindo em
obtemos
Isso significa que
e
devem satisfazer a equação de autovalores/autovetores. Sempre que conseguirmos dois autovalores distintos com autovetores linearmente independentes para uma matriz
, as soluções correspondentes
formam uma base do espaço de soluções, e a solução geral é combinação linear dessas soluções. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Calcular o polinômio característico
. Escrevemos
então o determinante é
Agora expandimos cuidadosamente: primeiro
(porque
, os termos em
se cancelam) e somando
(do
) obtemos
Passo 4
Encontrar os autovalores resolvendo
. Isso dá
portanto
Temos dois autovalores reais distintos, o que é ótimo porque normalmente garante dois autovetores linearmente independentes.
Passo 5
Calcular um autovetor associado a
Sendo
, o sistema linear é
Ambas equações são a mesma, então temos
(escolha prática), obtemos o autovetor
Qualquer múltiplo escalar desse vetor também serve; escolhemos essa forma por simplicidade.]
Passo 6
Calcular um autovetor associado a
O sistema é
Ambas equações dizem
e
obtemos o autovetor
Passo 7
Verificar independência linear dos autovetores (rápido):
não é múltiplo escalar de
(pois
), então são linearmente independentes. Assim, as duas soluções
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 8
Construir a solução geral como combinação linear das soluções fundamentais. Usando constantes arbitrárias
, a solução geral é
Substituindo
e os vetores encontrados, obtemos
onde
e
são constantes que seriam determinadas por condições iniciais, se fornecidas.]