Verifique quais dos seguintes conjuntos são Linearmente dependentes ou independentes:
em
Passo 1
O enunciado pede para determinarmos se o conjunto de funções
no espaço
é linearmente dependente ou independente.
Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e explorar propriedades de paridade das funções.
Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e explorar propriedades de paridade das funções.
Passo 2
Suponha que existam constantes
tais que, para todo
,
Nossa meta é mostrar que
.
Passo 3
Observe que
é função par e
e
são funções ímpares.
Decompondo a equação em parte par e parte ímpar, temos:
Decompondo a equação em parte par e parte ímpar, temos:
- Parte par:
para todo . - Parte ímpar:
para todo .
Passo 4
Da parte par
concluímos que
.
Da parte ímpar para todo
, podemos, por exemplo, derivar em relação a
:
Da parte ímpar
Como
varia, a única solução é
e então
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.