Verifique quais dos seguintes conjuntos são Linearmente dependentes ou independentes:
t, cos (t), sen(t) em C^2[-pi, pi]

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos se o conjunto de funções
,t,;cos(t),;sin(t)
no espaço C^2[-pi,pi] é linearmente dependente ou independente.
Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e explorar propriedades de paridade das funções.

Passo 2

Suponha que existam constantes a,b,c tais que, para todo tin[-pi,pi],
a,t ;+; b,cos(t) ;+; c,sin(t) ;=; 0
Nossa meta é mostrar que a=b=c=0.

Passo 3

Observe que cos(t) é função par e t e sin(t) são funções ímpares.
Decompondo a equação em parte par e parte ímpar, temos:
  • Parte par: b,cos(t)=0 para todo t.
  • Parte ímpar: a,t + c,sin(t)=0 para todo t.

Passo 4

Da parte par b,cos(t)=0 concluímos que b=0.
Da parte ímpar a,t + c,sin(t)=0 para todo t, podemos, por exemplo, derivar em relação a t:
a + c,cos(t)=0forall,t
Como cos(t) varia, a única solução é c=0 e então a=0.

Resposta

O conjunto ,t,cos(t),sin(t) é linearmente independente em C^2[-pi,pi].

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