Encontre equações paramétricas da reta que é a interseção dos planos dados pelas equações x+y+z=3 e 2 x-y-z=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta que é interseção dos planos
x + y + z = 3
e
2x - y - z = 0
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos encontrar um vetor diretor da reta (usando produto vetorial dos vetores normais dos planos) e um ponto qualquer que satisfaça ambas as equações.

Passo 2

Identificamos os vetores normais dos planos:
n1 = (1,,1,,1), n2 = (2,,-1,,-1)
Um vetor diretor da reta de interseção é dado por
v = n1 times n2

Passo 3

Calculamos o produto vetorial:
v = i & j & k 1 & 1 & 1 2 & -1 & -1 = l(1cdot(-1)-1cdot(-1),;1cdot2-1cdot(-1),;1cdot(-1)-1cdot2r) = (0,,3,,-3)
Podemos simplificar para
v = (0,,1,,-1)

Passo 4

Para encontrar um ponto da reta, resolvemos o sistema simultâneo. Somando as duas equações dos planos:
(x+y+z) + (2x - y - z) = 3 + 0 ;Longrightarrow; 3x = 3 ;Longrightarrow; x = 1
Substituindo x=1 em x+y+z=3, vem
1 + y + z = 3 ;Longrightarrow; y + z = 2
Escolhemos y=0, então z=2. Um ponto na reta é
P = (1,,0,,2)

Passo 5

Com o ponto
ou seja,
com parâmetro (t\in\mathbb{R}].

Resposta

boxedx = 1, y = t, z = 2 - t,;tinR

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