então escrever o sistema na forma matricial é colocá‑lo como
X'(t)=A\,X(t),
onde A é a matriz cuja linha i contém os coeficientes de x,y,z na equação de x_i'. Ou seja, cada entrada a_{ij} de A é o coeficiente da variável j-ésima na equação do derivado i-ésimo.]
Passo 3
Agora extraímos os coeficientes das equações dadas (peguei-os do enunciado):
Na primeira equação \,x'=-4x+y+z, os coeficientes de (x,y,z) são (-4,\,1,\,1).
Na segunda \,y'=x+5y-z, os coeficientes são (1,\,5,\,-1).
Na terceira \,z'=y-3z, os coeficientes são (0,\,1,\,-3) (repare que o coeficiente de x é 0 porque x não aparece).
Aqui \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} é um vetor constante e e^{-3t} é a parte dependente de t. A derivada de uma constante vezes uma função escalar é a constante vezes a derivada escalar, logo
Agora calculamos A\,X(t). Primeiro calculamos o produto A pelo vetor constante \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} (peguei A do passo 3 e o vetor do enunciado):
para todo t\in\mathbb{R}. Portanto X(t) satisfaz a equação matricial X'(t)=A X(t) e é, de fato, uma solução do sistema. Observação adicional (útil para provas): isso mostra também que \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} é um autovetor de A com autovalor -3, e funções da forma v e^{\lambda t} costumam ser soluções quando Av=\lambda v.]