Encontre a solução geral dos sistemas abaixo. Quando uma condição inicial for dada, encontre a única solução. Para encontrar a solução particular, use ou método dos coeficientes a determinar ou a fórmula da variação dos parâmetros. (nesta questão pode ser útil lembrar que a inversa de uma matriz 2 \times 2 não singular é dada por \left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{rr}d & -b \\\\ -c & a\end{array}\right) ) X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{ll}2 & -5 \\\\ 1 & -2\end{array}\right) X(t)+\binom{\operatorname{sec} (t)}{0}, \quad X(0)=\binom{0}{0}
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear não homogeneizado de segunda ordem vetorial
Calculamos as integrais usando identidades trigonométricas: \sin(t-s)\operatorname{sec} s=\sin t -\cos t\tan s e \cos(t-s)\operatorname{sec} s=\cos t+\sin t\tan s.
Então
x_2(t) =\int_{0}^{t}\bigl(\sin t -\cos t\tan s\bigr)ds =t\sin t -\cos t\int_{0}^{t}\tan s\,ds =t\sin t+\cos t\ln\bigl(\cos t\bigr),