Encontre a solução geral dos sistemas abaixo. Quando uma condição inicial for dada, encontre a única solução. Para encontrar a solução particular, use ou método dos coeficientes a determinar ou a fórmula da variação dos parâmetros. (nesta questão pode ser útil lembrar que a inversa de uma matriz 2 \times 2 não singular é dada por \left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{rr}d & -b \\\\ -c & a\end{array}\right) )
X^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{ll}2 & -5 \\\\ 1 & -2\end{array}\right) X(t)+\binom{\operatorname{sec} (t)}{0}, \quad X(0)=\binom{0}{0}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear não homogeneizado de segunda ordem vetorial
X'(t)=A\,X(t)+f(t),\quad A=\begin{pmatrix}2 & -5\\\ 1 & -2\end{pmatrix},\quad f(t)=\begin{pmatrix}\operatorname{sec}(t)\\\ 0\end{pmatrix},
com condição inicial X(0)=\bigl(0,0\bigr)^T. O conteúdo é equações lineares de coeficientes constantes e para resolver precisamos de:
  1. solução geral do homogêneo X'=AX, obtendo a matriz fundamental \Phi(t)=e^{At};
  2. fórmula de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular X_p(t);
  3. aplicação de X(0)=0 para determinar constantes da parte homogênea.

Passo 2

Resolvendo o homogêneo X'=AX: calculamos
A^2=\begin{pmatrix}2 & -5\\\ 1 & -2\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}-1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}=-I.
Com isso
e^{At}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(At)^n}{n!} =I\cos t + A\sin t.
Escrevendo em forma de matriz,
\Phi(t)=e^{At} =\begin{pmatrix}\cos t+2\sin t & -5\sin t\\[6pt] \sin t & \cos t-2\sin t\end{pmatrix}.
Logo a solução geral do homogêneo é
X_h(t)=\Phi(t)C =C_1\begin{pmatrix}\cos t+2\sin t\\sin t\end{pmatrix} +C_2\begin{pmatrix}-5\sin t\\cos t-2\sin t\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para a parte particular usamos a fórmula de variação de parâmetros em coeficientes constantes:
X_p(t)=\int_{0}^{t}e^{A(t-s)}\,f(s)\,ds =\int_{0}^{t}\Phi(t-s)\begin{pmatrix}\operatorname{sec} s\\\ 0\end{pmatrix}ds.
Como \Phi(t-s)=I\cos(t-s)+A\sin(t-s), temos
\Phi(t-s)\begin{pmatrix}\operatorname{sec} s\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(t-s)\operatorname{sec} s\\\ 0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2\sin(t-s)\operatorname{sec} s\\sin(t-s)\operatorname{sec} s\end{pmatrix}.
Desse modo os componentes são
x_1(t)=\int_{0}^{t}\bigl[\cos(t-s)+2\sin(t-s)\bigr]\operatorname{sec} s\,ds, \quad x_2(t)=\int_{0}^{t}\sin(t-s)\operatorname{sec} s\,ds.

Passo 4

Calculamos as integrais usando identidades trigonométricas:
\sin(t-s)\operatorname{sec} s=\sin t -\cos t\tan s e \cos(t-s)\operatorname{sec} s=\cos t+\sin t\tan s.
Então
x_2(t) =\int_{0}^{t}\bigl(\sin t -\cos t\tan s\bigr)ds =t\sin t -\cos t\int_{0}^{t}\tan s\,ds =t\sin t+\cos t\ln\bigl(\cos t\bigr),
pois \int_{0}^{t}\tan s\,ds=-\ln(\cos t).
E
x_1(t) =2\int_{0}^{t}\bigl(\sin t-\cos t\tan s\bigr)ds +\int_{0}^{t}\bigl(\cos t+\sin t\tan s\bigr)ds
=2\bigl(t\sin t+\cos t\ln(\cos t)\bigr) +\bigl(t\cos t-\sin t\ln(\cos t)\bigr)
=t\bigl(2\sin t+\cos t\bigr) +\ln(\cos t)\bigl(2\cos t-\sin t\bigr).

Passo 5

A solução geral do sistema é
X(t)=X_h(t)+X_p(t) =\Phi(t)C +\begin{pmatrix} t\bigl(2\sin t+\cos t\bigr) +\ln(\cos t)\bigl(2\cos t-\sin t\bigr)\\[6pt] t\sin t+\cos t\ln(\cos t) \end{pmatrix}.
Impondo X(0)=0 temos \Phi(0)C+X_p(0)=C+0=0, logo C=(0,0)^T. A única solução com a condição inicial é X(t)=X_p(t) acima.]

Resposta

Solução geral:
X(t)= C_1\begin{pmatrix}\cos t+2\sin t\\sin t\end{pmatrix} +C_2\begin{pmatrix}-5\sin t\\cos t-2\sin t\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} t\bigl(2\sin t+\cos t\bigr) +\ln(\cos t)\bigl(2\cos t-\sin t\bigr)\\[6pt] t\sin t+\cos t\ln(\cos t) \end{pmatrix}.
Solução com X(0)=(0,0)^T:
X(t)=\begin{pmatrix} t\bigl(2\sin t+\cos t\bigr) +\ln(\cos t)\bigl(2\cos t-\sin t\bigr)\\[4pt] t\sin t+\cos t\ln(\cos t) \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados