Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
Informações dadas:
- A função é
para . - A tarefa é calcular
e indicar a região de convergência se necessário.
Passo 2
Definição e ideia principal que vou usar (aula curta):
onde
é uma variável complexa e, para funções trigonométricas básicas, a transformada converge para
. Duas propriedades úteis:
- Linearidade:
, onde são constantes. - Transformadas padrão:
ambas válidas para
. Vou mostrar como obter essas fórmulas na próxima etapa.
Passo 3
Identidade trigonométrica que simplifica o problema:
Aplicando com
, obtemos um desenvolvimento que transforma o deslocamento de fase numa combinação linear de
e
.
Passo 4
Avaliação das constantes trigonométricas (valores conhecidos):
Usando a identidade do passo anterior:
Passo 5
Expansão de
com os coeficientes numéricos:
Isso é ótimo porque agora posso aplicar linearidade da transformada de Laplace e as transformadas padrão de
e
.
Passo 6
Derivação rápida das transformadas padrão (mostrando o porquê das fórmulas usadas):
Considere
Considere
com
para garantir que os termos exponenciais vão a zero no infinito. Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando exponenciais complexas) chega-se ao sistema
Substituindo
na primeira equação:
logo
E com
obtemos
Colocando
(nosso caso), resulta
válidas para
.
Passo 7
Aplicando linearidade e as transformadas padrão à combinação obtida no Passo 5:
Colocando em fração única:
com região de convergência
.